Площадь замкнутого контура

[Chum]

Подскажите плиз.
Как можно определить площадь замкнутого контура созданного квадратичными кривыми Безье. Координаты всех точек создающих кривые - известны.
Изначально предполагается что линии контура не будут пересекаться. Как-то так:

Я не математик, но указанный вопрос заставил обратиться к математике.
Подскажите плиз ссылкой или кодом.

[mihailm]

Если по точке можно алгоритмично сказать принадлежит она фигуре или нет, то удобно считать методом Монте-Карло

[Sender]

Можно ещё посмотреть на формулу Грина.

[Chum]

Я предполагаю что первоначально требуется определить площадь замкнутого контура, как площадь многоугольника, а затем в зависимости от того где располагается третья(регулирующая) точка кривой Безье второго порядка каждого отрезка, вне контура или внутри контура, вычитать или прибавлять площадь кривой к площади многоугольника. Но это всего лишь в теории, а на практике ???
В связи с этим у меня есть вопросы которые я хотел бы для себя выяснить:
1. Отличаются ли методы определения площади многоугольника от его формы или метод один, универсальный. (См. рисунок, зачёркнутое красным - вариант не рассматривается).
2. Подскажите как попроще по координатам трёх точек определить площадь фигуры кривой Безье второго порядка.

-- 18.04.2013, 10:26 --

Насчёт проверки положения третьей точки - внутри или вне многоугольника, кажется погорячился, т.к. точка может лежать вне многоугольника а площадь кривой необходимо будет вычесть. Но всё равно - есть ведь какой-то критерий.

[Sender]

Площадь $S$ области $D$, ограниченной замкнутым контуром $\gamma$, можно найти, посчитав интеграл $\iint \limits_D dx dy$, который можно свести к интегралу по границе этой области, например, $S=\oint \limits_{\gamma}xdy$.
Сегмент квадратичной кривой Безье задаётся соотношением $\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2, \quad t \in [0,1]$, т.е.

$$ \begin{cases}x(t)=(1 - t)^{2}x_0+2t(1 - t)x_1 + t^{2}x_2 \\ y(t)=(1 - t)^{2}y_0+2t(1 - t)y_1 + t^{2}y_2 \end{cases},$$

где $(x_0,y_0),\ (x_1,y_1),\ (x_2,y_2)$ - координаты опорных точек.
Таким образом, вклад рассматриваемого сегмента в вычисляемую площадь составит $\int \limits_0^1 x(t)y'(t)dt$. Осталось всё подставить в выражение для площади, проинтегрировать и просуммировать по всем сегментам.

[Chum]

Как-же всё сложно!
Полопатив Тырнет составил примерный алгоритм решения задачи. Прошу дать оценку.
1.Определяем площадь многоугольника созданного на основе отрезков по опорным точкам сегментов кривых Безье второго порядка.
Полученное значение площади может принять положительное или отрицательное значение, это говорит что обход многоугольника идёт против или по часовой стрелке.
2.Циклом проходим по тому-же многоугольнику где в каждой позиции цикла определяем площадь сегмента кривой Безье, а также положение третьей точки кривой относительно вектора заданного опорными точками кривой. Далее:
а. Если обход идет по часовой стрелке а третья точка сегмента находится слева - прибавляем площадь сегмента к площади многоугольника, справа - вычитаем.
б.Если обход против часовой стрелки а третья точка слева - вычитаем, справа - прибавляем.
Разумеется если первоначально площадь многоугольника имеет знак минус - определяем площадь по абсолютному значению.
Ключевые фразы для поисковых систем: "обход контура" и "положение точки относительно прямой".

[Sender]

А как вы собираетесь определять площадь сегмента кривой Безье?

[Chum]

А я собственно в данный момент этим и занимаюсь.
Понимаете, картинки формул взятые со страницы:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Безье
я уже видел, эти картинки видит наверно каждый кто так или иначе сталкивается в работе с кривыми Безье.
Насколько я понимаю, через три точки на плоскости можно провести только одну кривую Безье, значит и решение данного вопроса должно быть в достаточной мере стандартным, что касается двойных интегралов (я же указывал в теме что я не математик), то на них, как и на ряды Фурье, у меня ещё с курса ВМ и ТВ одного из институтов, стойкая аллергия.

-- 19.04.2013, 10:12 --

Спасибо. Я хоть и работаю на C#, но здесь всё понятно, разберусь.

[Sender]

В общем, если ничего не напутал, получается что-то вроде этого:

Используется синтаксис C++

#define n 100
struct Point
{
   double x;
   double y;
};
Point points[n][3];//координаты опорных точек
double S=0;
Point (*bz)[3]=points;
for (int i=0;i<n;bz++)
   S+=((bz[0]->x*bz[2]->y-bz[0]->y*bz[2]->x)/2.+bz[1]->y*(bz[0]->x-bz[2]->x)+bz[1]->x*(bz[2]->y-bz[0]->y))/3.;