НАНОВТФ, квадратура куба

[chudov]

НАНОВТФ, квадратура куба
Доказательство «постквадрат и вилка»

Наименование НАНОВТФ удобно использовать для обозначения мелкого фрагмента ВТФ:

Разность смежных кубов – не куб

Из бинома Ньютона (или из непосредственного рассмотрения куба, сложенного из единичных кубиков) имеем

$(n+1)^3 –n^3=3(n^2+n)+1 $ ... [1]

Уменьшив на единицу и разделив на 3, получим постквадрат $n^2+n$, как базу для сравнения с кубом. Легко увидеть, что:

$m^3=(m-1)m(m+1)+m $ ... [2]

И выражение [2] для куба также уменьшим на единицу и разделим на 3:

$(m-1)/3(m^2+m+1) $ ...[3]

Можно ли $[3]$ свести к постквадрату? Так как вторая скобка только на единицу больше постквадрата, рассмотрим такие $m$, при которых первая скобка, делённая на три – полный квадрат. Это приблизит нас к постквадрату. Итак

$(m-1)/3=k^2$ ...[4]

Для упрощения записи не будем менять обозначение во второй скобке

$k^2(m^2+m+1)$ ...[5]

Выделим из выражения [5] постквадрат и оценим остаток

$[(km)^2+km]-km+k^2m+k^2$ ...[6]

Поскольку $k^2m>km$, выделенный постквадрат, оказывается меньше выражения [5]. Недолёт. Сравним [5] со смежным постквадратом $[k(m+1)]^2+k(m+1)$. Этот постквадрат превышает [5] на величину

$k^2m+k(m+1) $ ... [7]

Перелёт. Вилка.
Так как полный квадрат не дал желаемого результата, попробуем неполный, меньший на единицу:

$(m-1)/3=k^2-1 $ ... [8]

Вместо [5] получаем
$(k^2-1)(m^2+m+1) $ ...[9]

Как и ранее, выделим постквадрат

$[(km)^2 +km]-km+k^2(m+1)-(m^2+m+1)$ ...[10]

Очевидно, что за пределами постквадрата – отрицательная величина. Снова вилка, между полным и неполным квадратами.
Следовательно, НаноВТФ теорема квадратура куба верна.

[gris]

Название немного не удачное, так как $8^3-7^3=13^2$, и это есть пример квадратуры. То есть немного вводит в заблуждение. Лучше было бы назвать "кубатура разности соседних кубов невозможна".

[ananova]

gris в сообщении #711959 писал(а):

Название немного не удачное, так как $8^3-7^3=13^2$, и это есть пример квадратуры. То есть немного вводит в заблуждение. Лучше было бы назвать "кубатура разности соседних кубов невозможна".

Как возможный вариант - "кубатура нечетной разности кубов невозможна".

[ananova]

Как только сейчас понял, речь идет о доказательстве случая $x^3+y^3=(y+1)^3$ ? Или о каком-то другом случае?

[AKM]

Мне тоже так кажется.
Но автор сделал всё возможное, чтобы запудрить читателю моск --- какие-то вилки, постквадраты, наны, квадратуры...
А странный крючек в формуле [1] стартового поста появился в результате замены простого минуса на какое-то хитрое тире.

[chudov]

Действительно в формуле

Цитата:

[1]

должен быть минус. Я плохо вижу и это ошибся человек, который мне вводил текст.