Категория групп

[ZeZeeb]

Имеет ли смысл вопрос о том, сколько в категории всех групп групп порядка n? Как можно ответить на этот вопрос? Их будет невообразимо много? Можно ли различать только неизоморфные группы? Тогда их будет конечное число? Можно ли считать, что все конечные группы образуют множество? И когда?
Короче, как определяется категория групп?

[Chernoknizhnik]

ZeZeeb в сообщении #709958 писал(а):

Как можно ответить на этот вопрос? Можно ли различать только неизоморфные группы? Тогда их будет конечное число?

Дело в том, что группа порядка $n$ изоморфно вкладывается в симметрическую группу $S_n$ (теорема Кэли), поэтому количество групп порядка $n$ уж никак не больше количества подгрупп $S_n$.

[ИСН]

Категории тут упоминать - это вообще, по-моему, не пришей к уху рукав. А так в математике всё всегда рассматривается с точностью до изоморфизма, иначе что бы началось? Группа перестановок белых лабораторных мышей и группа перестановок зелёных светящихся лабораторных мышей?

[ZeZeeb]

ИСН в сообщении #709968 писал(а):

Категории тут упоминать - это вообще, по-моему, не пришей к уху рукав. А так в математике всё всегда рассматривается с точностью до изоморфизма, иначе что бы началось? Группа перестановок белых лабораторных мышей и группа перестановок зелёных светящихся лабораторных мышей?

Вот и хотелось бы узнать, различаются ли формально группа перестановок белых лабораторных мышей и группа перестановок зелёных светящихся лабораторных мышей в категории всех конечных групп.
?

Цитата:

In mathematics, the category Grp has the class of all groups for objects and group homomorphisms for morphisms. As such, it is a concrete category. The study of this category is known as group theory.

What does "of all groups" mean?

[Aritaborian]

ZeZeeb, вам же чёрным по светло-серому написали: нет, не различаются. Или так: различаются с точностью до изоморфизма. Что касается количества, смотрите у Слоуна: A000001.

[Xaositect]

С чисто формальной точки зрения все-таки группа - это множество с операцией и изоморфные группы с разными носителями являются разными объектами категории групп. Соответственно, все $n$-элементные группы образуют собственный класс и понятие количества или кардинального числа к нему не применимо.
К счастью, все это не имеет никакого значения, и практически всегда рассматриваются группы с точностью до изоморфизма, и с точностью до изоморфизма их конечное число.

[ZeZeeb]

Xaositect в сообщении #710105 писал(а):

С чисто формальной точки зрения все-таки группа - это множество с операцией и изоморфные группы с разными носителями являются разными объектами категории групп. Соответственно, все $n$-элементные группы образуют собственный класс и понятие количества или кардинального числа к нему не применимо.
К счастью, все это не имеет никакого значения, и практически всегда рассматриваются группы с точностью до изоморфизма, и с точностью до изоморфизма их конечное число.

Спасибо. Это я хотел уточнить.

[apriv]

ИСН в сообщении #709968 писал(а):

Категории тут упоминать - это вообще, по-моему, не пришей к уху рукав. А так в математике всё всегда рассматривается с точностью до изоморфизма, иначе что бы началось?

Ну, если одна абстрактная группа в вакууме — то, действительно, только с точностью до изоморфизма, а если есть еще что-то вокруг — то уже не обязательно.