Первая теорема Силова

[lena7]

Почему в большинстве* учебников первую теорему Силова (существование) формулируют только для силовских подгрупп? Ведь она справедлива для любых делителей вида $p^k$, не обязательно максимальных. Зачастую даже доказательство менять не требуется.

_______________
* Я знаю только одно исключение -- Каргаполов, Мерзляков.

[AV_77]

А собственно зачем? Можно отдельно показать, что группа порядка $p^n$ содержит подгруппу порядка $p^m$ при $m < n$.

[lena7]

Можно. Но (1) зачем давать две теоремы, если можно дать одну, с одним доказательством; (2) одна из главных мотиваций первой теоремы Силова --- частично обратить теорему Лагранжа, но зачем её обращать только для максимальных делителей $p^n$, если почти не усложняя доказательство, её можно обратить для всех $p^k,\ k\le n$.

[AV_77]

Во-первых, это будет следовать из гораздо более общей теории нильпотентных групп. Во-вторых, что, на мой взгляд более важно, в данный момент надо давать только то, что сейчас нужно или понадобится в ближайшее время. Давать все подряд в максимальной общности нет никакой необходимости. В-третьих, это зависит от автора, может автор учебника считает, что ему это не понадобится. И, в конце концов, теоремы Силова сами являются частным случаем более общих теорем о холловых подгруппах. Почему бы тогда с них не начинать?

lena7 в сообщении #709530 писал(а):

Почему в большинстве* учебников

Специально посмотрел. Из 6 учебников по теории групп или по общей алгебре которые есть под рукой в 2 теорем Силова нет (Курош и ван дер Варден), в 1 (Кострикин) действительно про вложение не упоминается, а в остальных трех (Винберг, у него это вторая теорема, Курош, Каргополов и Мерзляков) про вложение есть. Еще про вложение точно есть в Ленге. Так что, все наоборот, в большинстве учебников про вложение упоминается.