2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение13.04.2013, 13:17 
Аватара пользователя


16/04/11
31
Доброго времени суток участникам форума. Мне необходимо проверить гипотезу об эрланговском распределении входного потока по критерию Пирсона.
Плотность эрланговского распределения, насколько мне известно, следующая: $f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^{k-1}}{(k-1)!}$. Параметры распределения $k$ и $\lambda$ я нашел, формулу самого критерия я знаю, но как проверить саму гипотезу, т.е. как все данные сложить воедино - не понимаю, хотя знаю как это делается для экспоненциального распределения по тому же критерию. Заранее спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение13.04.2013, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
Что конкретно не получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 13:04 
Аватара пользователя


16/04/11
31
Я не знаю как в моем случае находить вероятности $p_i$, которые потом будут использоваться для подсчета $\chi^2_{nabl}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
Другое дело. Проще всего численно: если границы интервалов уже заданы, то подставляете в плотность вместо параметров их оценки и считаете что-то вроде http://www.wolframalpha.com/input/?i=int_3%5E7+%282.7%5E6%2F120%29+x%5E5+exp%28-2.7x%29dx - это для примера, с $\lambda^*=2.7$ и $k^*=6$, вероятность попасть в участок от $3$ до $7$.

А если границы интервалов еще нужно подбирать, то начните с них: нарисуйте в вольфрам-альфа график плотности с найденными оценками параметров, разбейте на глазок область под графиком на части так, чтобы более-менее одинаковые вероятности приходились на каждый интервал (не так, что на один очень большая, а на другие - совсем ничего). Дальше ищите численно теоретические вероятности.

(Оффтоп)

Вообще-то по уму следует сначала разбить положительную полуось на интервалы, а уже потом искать оценки. По методу минимума хи-квадрат. А Вы, наверное, оценки метода моментов или максимального правдоподобия нашли? Если задача учебная, сойдёт. А если для жизни - не всегда так можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 18:19 
Аватара пользователя


16/04/11
31
Кажется, я вас понял, спасибо за ссылку.
Я всегда разбивал на 10 интервалов следующим образом: $\frac {x_\max - x_\min} {10}$. У меня получается 10 интервалов с шагом 7,2. Далее я подставляю в формулу плотности найденные значения $k$ и $\lambda$, а вместо $x$ подставляю границы интервалов и для каждого $x$ получаю вероятность $p_i$? Соответственно, $\chi^2_{nabl}$ будет сумма этих значений вероятностей $p_i$?

Не совсем понял как ввести формулу плотности на сайте вольфрам-альфа..

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
Вот эти вопросы уже не поняла. Как ввести плотность - по ссылке введена. Значение статистики критерия - это не сумма вероятностей, а сумма квадратов неких дробей, в любом учебнике есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 19:39 


23/12/07
1681
--mS--, а можно вопрос. Зачем в таком случае (когда параметры распределения берутся оценочные) вообще использовать Пирсона, а не, например, того же Колмогорова, у которого проблем с выбором интервалов и проч. нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
Критерий Колмогорова в принципе не умеет проверять сложную гипотезу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 20:13 


23/12/07
1681
--mS-- в сообщении #710162 писал(а):
Критерий Колмогорова в принципе не умеет проверять сложную гипотезу.

Я имел в виду, как и делал автор, берем подставляем оценочные параметры - получаем простую - и вперед по Колмогорову. Чем это хуже того же подхода по Пирсону? Почему на него все так ведутся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
Нет, когда мы подставляем параметры, простую гипотезу мы никак не получаем. Мы получаем случайную функцию распределения/плотность, зависящую в каждой точке от выборки. Распределение статистики критерия Колмогорова перестаёт сходиться к распределению Колмогорова. И критерий перестаёт быть непараметрическим (т.е. распределение статистики уже зависит от гипотетического распределения). У критерия же Пирсона предельное распределение статистики критерия при замене параметров подходящими оценками остаётся распределением хи-квадрат. Только с другим числом степеней свободы. Правда, оценки тут должны быть по методу минимума хи-квадрат.

Наверное, можно для разных семейств распределений, подставив оценки вместо параметров, отыскать предельное распределение статистики критерия Колмогорова и его затем использовать для проверки гипотез. Этим занимается критерий Лиллиефорса. Но не уверена, что такое возможно для любых гипотетических распределений, а не только для нормального или показательного, для которых его обычно используют.

-- Пн апр 15, 2013 00:38:47 --

Не говоря уж о том, что вопрос "почему Пирсон, а не Колмогоров" - он сам по себе не вполне правильный. Эти критерии реагируют на разные отклонения распределений друг от друга: один на функции распределения, другой на плотности. Нарисуйте кишку $F(x)\pm \varepsilon/\sqrt{n}$ вокруг гладкой функции распределения. Для любой эмпирической функции распределения, расположенной целиком в этой кишке, основная гипотеза будет принята. А теперь представьте себе, что угол наклона этой ступенчатой э.ф.р. резко меняется внутри кишки: то почти не растет, то резко растёт; снова не растёт, снова хорошо растёт. Для критерия Пирсона такие всплески означают, что внутри некоторых интервалов пусто, некоторых - густо. Конечно, если интервалов не два :) Критерий Пирсона такое отклонение эмпирической плотности от теоретической почувствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 20:40 
Аватара пользователя


16/04/11
31
_hum_ , нам просто критерий Пирсона преподавали как наиболее часто используемый. И в задачах, которые мы решали, всегда использовали его.

--mS--, да, я не верно выразился. В числителе у этой дроби квадрат разности соответствующих эмпирических и теоритических частот, а в знаменателе - соответствующая эмпирическая частота. Для получения наблюдаемого значения критерия эти дроби складываются.

Вопрос по поводу формулы по ссылке: а где же $(k-1)!$ в знаменателе? И почему у $\lambda$ и $x$ разные степени? Разве у них ни степень $k-1$ ? Также я не понял откуда появилась дробь $\frac {1}{120}$.

А если получать вероятность попадания в интервал в ручную, то необходимо в формулу плотности подставить значение $x_i$ (соответствующее левой границе интервала), затем в формулу плотности подставить значение $x_{i+1}$ (соответствующее правой границе интервала) и вычесть из первой формулы вторую (по аналогии с такой же процедурой для экспоненциального распределения) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение14.04.2013, 20:59 


23/12/07
1681
--mS-- в сообщении #710191 писал(а):
Правда, оценки тут должны быть по методу минимума хи-квадрат.

Вот видите. А то, что делает сейчас автор, это, фактически, просто берет от балды выбирает простую гипотезу (полагая какие-то конкретные значения параметров) и проверяет ее по Пирсону. То же самое можно делать и по Колмогорову - там по крайней мере нет проблем с выбором интервалов. А насчет того, что он менее чувствителен, то ведь и в Пирсоне интервалы огрубляют чувствительность (хотя гипотетически, конечно, параметрический критерий должен быть чувствительнее непараметрического).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение15.04.2013, 08:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
T(h)rasher в сообщении #710201 писал(а):
Вопрос по поводу формулы по ссылке: а где же $(k-1)!$ в знаменателе? И почему у $\lambda$ и $x$ разные степени? Разве у них ни степень $k-1$ ? Также я не понял откуда появилась дробь $\frac {1}{120}$.

А Вы попробуйте выписать плотность с указанными параметрами, авось что-то и получится.
T(h)rasher в сообщении #710201 писал(а):
А если получать вероятность попадания в интервал в ручную, то необходимо в формулу плотности подставить значение $x_i$ (соответствующее левой границе интервала), затем в формулу плотности подставить значение $x_{i+1}$ (соответствующее правой границе интервала) и вычесть из первой формулы вторую (по аналогии с такой же процедурой для экспоненциального распределения) ?

Вы точно представляете себе, как по плотности вычисляются вероятности? Откройте учебник. Вероятность попасть в интервал равна разности значений не плотности, а функции распределения!

-- Пн апр 15, 2013 12:57:50 --

_hum_ в сообщении #710208 писал(а):
Вот видите. А то, что делает сейчас автор, это, фактически, просто берет от балды выбирает простую гипотезу (полагая какие-то конкретные значения параметров) и проверяет ее по Пирсону.

Нет, не это. Автор, если ему верить, нашёл оценки для параметров - обычно именно это делают, когда говорят "я нашёл параметры". В любом случае, как бы их не называть, это объекты, вычисленные по данной выборке. На другой выборке будут другие. Гипотеза простой никак не станет. Простая гипотеза - она одна и та же, какой бы ни была выборка из неё.

А то, что эти оценки не метода минимума хи-квадрат, а ОМП или ОММ, может помешать только в том случае, если гипотеза будет отвергаться. Просто потому, что статистика критерия хи-квадрат по правильным оценкам может оказаться меньше, чем по этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение15.04.2013, 11:16 
Аватара пользователя


16/04/11
31
--mS-- в сообщении #710355 писал(а):
А Вы попробуйте выписать плотность с указанными параметрами, авось что-то и получится.


Да, Вы правы, все так и есть.

--mS-- в сообщении #710355 писал(а):
Вы точно представляете себе, как по плотности вычисляются вероятности? Откройте учебник. Вероятность попасть в интервал равна разности значений не плотности, а функции распределения!


Я опять не верно выразился. Действительно, вероятность попадания в интервал вычисляется через функцию распределения. Я не понимаю как вручную вычислить эту вероятность через разность значений функции Эрланговского распределения.

А параметры $k$ и $\lambda$ я нашел с помощью метода моментов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза об эрланговском распределении.
Сообщение15.04.2013, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4152
T(h)rasher в сообщении #710395 писал(а):
Я опять не верно выразился. Действительно, вероятность попадания в интервал вычисляется через функцию распределения. Я не понимаю как вручную вычислить эту вероятность через разность значений функции Эрланговского распределения.

У Вас есть функция распределения эрланговского распределения? В таком случае подставляете в неё концы интервала и вычитаете. Снова не понимаю, в чём вопрос. Или у Вас есть только плотность? Как по плотности ищутся вероятности попадания в интервал?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group