факторкольцо

[Naatikin]

Простая задача, хочу проверить правильно ли решил.
Изоморфны ли кольца:
$R[x]/(x-2)$ и $R$.
$R[x]/(x-2)$ это кольцо смежных классов: $g(x)(x-2)$ и $f(x)$, где полином $deg(g(x)(x-2))>0$, $deg(f(x))=0$.
Из $R$ можно сопоставить первому смежному классу $R_{\leqslant 0}$, а второму $R_{>0}$.
По идее они изоморфны, но мне не нравится таблица сложения для R.
спасибо

[AV_77]

Все надо переделывать.
Сначала напишите как выглядят элемент факторкольца. Потом посмотрите как в нем определено сложение и умножение. И все сразу станет ясно. А всякие $R_{\leq 0}$ и т.п. здесь совершенно не при чем.

[Naatikin]

начнём с малого
идеал является главным идеалом и имеет вид $g(x)(x-2)$
верно?

[AV_77]

Да, элементы идеала имеют такой вид. Теперь элементы факторкольца.

[Naatikin]

у меня получается один большой смежный класс, потому как независимо от того прибавить $\operatorname{const}$ или полином, получается элемент идеала.

[AV_77]

Нет, не так. Разве $(x-2) + 1$ делится на $x-2$?

[Naatikin]

ааа
тогда получается любой полином вида $g(x)(x-2)+n,n$ принадлежит $R\setminus \{0\}$ не будет входит в идеал. Следовательно для каждого элемента из $R$ будет свой смежный класс задаваемый n.

[AV_77]

Конечно. Любой элемент факторкольца имеет вид $g(x)(x-2) + a$, где $a \in R$. Теперь посмотрите как выполняется сложение и умножение двух смежных классов.

[Naatikin]

$(a+I)(b+I)=a+b+I$ эквивалентно сложению в $R$
$(a+I)(b+I)=ab+I$ эквивалентно умножению в $R$
сюръективность и инъективность просто доказывается
следовательно это изоморфизм