Тензор напряжения электрического поля.

[GAttuso]

Сабж есть параграф 34 у Тамма, не могу там понять одно преобразование между (34.1) и (34.2), а именно:
$\vec{D}\nabla\cdot E_{x}=\varepsilon \vec{E} \nabla \cdot E_{x}=\frac{\varepsilon}{2} \frac{\partial}{\partial x} E^{2} $

Последнее равенство для меня загадка, ведь:
$\vec{E} \nabla \cdot E_{x}=E_{x}\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+E_{y}\frac{\partial E_{x}}{\partial y}+E_{z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}$

[Утундрий]

Приведите Тамма тутта.

[Munin]

Возьмём из приложения § П.7 "Оператор набла. Вторые производные. Производные от произведений" формулу

$$\mathbf{a}\nabla=a\dfrac{\partial}{\partial a}\qquad(49^*),$$

поясняющую смысл самого по себе оператора $\mathbf{E}\nabla.$ Таким образом, это скалярный оператор. Если он действует на скаляр, то образует скаляр. Если он действует на вектор, то действует по отдельности на компоненты этого вектора, то есть, $x$-овая координата результата будет результатом действия оператора на $x$-овую координату вектора, и так далее. То есть, $\mathbf{a}\nabla\cdot\mathbf{b}$ может быть расписана по координатам так:

$$\mathbf{a}\nabla\cdot b_x=\Bigl(a\dfrac{\partial\mathbf{b}}{\partial a}\Bigr)_x\qquad\mathbf{a}\nabla\cdot b_y=\Bigl(a\dfrac{\partial\mathbf{b}}{\partial a}\Bigr)_y\qquad\mathbf{a}\nabla\cdot b_z=\Bigl(a\dfrac{\partial\mathbf{b}}{\partial a}\Bigr)_z.$$

Отсюда, мы видим, что наше выражение $\mathbf{E}\nabla\cdot E_x$ - это просто $x$-овая компонента вектора $\mathbf{E}\nabla\cdot\mathbf{E},$ откуда по (32.2) в условиях $\operatorname{rot}\mathbf{E}=0$ (это (7.6)), имеем

$$\mathbf{E}\nabla\cdot E_x=(\mathbf{E}\nabla\cdot\mathbf{E})_x=(\tfrac{1}{2}\nabla E^2)_x=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial x}E^2.$$

Вуаля!

[Утундрий]

Munin в сообщении #708359 писал(а):

$$\mathbf{E}\nabla\cdot E_x=(\mathbf{E}\nabla\cdot\mathbf{E})_x

Да, недостаточно я ещё осязал прихотливые изгибы истинно физической мысли.

[Munin]

Да, поясню. Разумеется, в формуле $\mathbf{E}\nabla\cdot E_x$ подразумевается скалярное произведение между векторами $\mathbf{E}$ и $\nabla,$ и умножение их (в любом порядке) на $E_x.$ Значок $\cdot$ здесь не означает скалярного произведения векторов. Порядок сомножителей в формуле менять нельзя, потому что он показывает, от чего берётся производная.

[Утундрий]

Стоп-стоп. Я допёр. Просто тутт (у Тамма) "набла" не считается вектором! Тогда первый вектор сворачивается с последним, коий однако записан покомпонентно. Вот тогда (и только) квадрат под наблой и получится.

-- Ср апр 10, 2013 23:40:29 --

GAttuso в сообщении #708316 писал(а):

$\vec{D}\nabla\cdot E_{x}=\varepsilon \vec{E} \nabla \cdot E_{x}=\frac{\varepsilon}{2} \frac{\partial}{\partial x} E^{2} $

Ну да, именно что. Сначала он зачем-то заменяет второй вектор $x$-компонентой (хотя с ним-то и должна производиться свёртка), потом преобразует к градиенту от скаляра, но тут же оставляет от него одну $x$-компоненту. Столь странные эволюции можно объяснить только нежеланием предоставлять набле статус вектора.

[Munin]

Утундрий в сообщении #708386 писал(а):

Просто тутт (у Тамма) "набла" не считается вектором! Тогда первый вектор сворачивается с последним, коий однако записан покомпонентно.

Нафиг, нафиг! Приведу формулу (32.2) для тех, у кого Тамм не скачивается:
Сначала (из "бац минус цаб" и производной от произведения)

$$\operatorname{grad}(\mathbf{ab})=(\mathbf{b}\nabla)\mathbf{a}+(\mathbf{a}\nabla)\mathbf{b}+[\mathbf{b}\operatorname{rot}\mathbf{a}]+[\mathbf{a}\operatorname{rot}\mathbf{b}],$$

откуда

$$\dfrac{1}{2}\nabla a^2=(\mathbf{a}\nabla)\mathbf{a}+[\mathbf{a}\operatorname{rot}\mathbf{a}].$$

Дальше,

$$\mathbf{E}\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{1}{2}\nabla E^2-[\mathbf{E}\operatorname{rot}\mathbf{E}],$$

и с добавлением условия $\operatorname{rot}\mathbf{E}=0,$ имеем окончательно

$$\mathbf{E}\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{1}{2}\nabla E^2.\qquad(32.2)$$

[Утундрий]

Ну, или так. ©

[Munin]

Набла везде вектор. Вот $\mathbf{E}\nabla$ - скаляр.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Вообще-то, моя версия тоже выдерживает. (Если Тамма не скачивать).

[GAttuso]

Munin
Спасибо, теперь понятно. Не совсем очевидные для меня рассуждения
Я просто раскладывал и правую и левую часть на составляющие и равенство мне казалось не совсем прозрачным.

[Munin]

Ну там же в тексте в предыдущей строчке написано, какие формулы смотреть. Вот и заглянули бы в них. Уже одна (32.2) чего стоит.

[GAttuso]

Дык, я глядел. И все равно ничего не выходило, я полагаю, что просто не мог додуматься до вот этой штуки:

Munin в сообщении #708359 писал(а):

$$\mathbf{E}\nabla\cdot E_x=(\mathbf{E}\nabla\cdot\mathbf{E})_x=(\tfrac{1}{2}\nabla E^2)_x$$

[Munin]

В общем, на таком уровне все эти векторные обозначения типа $\mathbf{a}\nabla,$ $\mathbf{a}\operatorname{grad},$ и попытки изобразить тензоры - становятся довольно муторными и неудобными (пока речь только о скалярных и векторных произведениях и простых роторах и градиентах - всё ещё окей). Лично мне гораздо удобней тензорные индексные обозначения, вы их можете прочитать в Ландау-Лифшиц "Теория поля".