2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ограниченность и норма линейного оператора
Сообщение10.04.2013, 18:20 
Здравствуйте, понимаю, что задача тривиальная вроде бы, но никак не могу понять откуда начать.
Доказать, что оператор $Ax(t)=\frac {1}{2} (x(t)+x(-t))$ в пространстве $C[-1;1]$ ограничен и найти его норму.

Линейность очевидна, а вот чем оценить норму оператора?

 
 
 
 Re: Ограниченность и норма линейного оператора
Сообщение10.04.2013, 19:31 
Попытался оценить норму. Верно ли?

$ \left\| Ax \right\| = \max_{t\in [a,b]}|x(t)| = \max_{t\in [a,b]} \sqrt{\int\limits_ {-1}^1 x^2(t)\,dt} \leqslant 1$

Значит норма равна единице?

 
 
 
 Re: Ограниченность и норма линейного оператора
Сообщение10.04.2013, 20:41 
Аватара пользователя
wronskian в сообщении #708270 писал(а):
Попытался оценить норму. Верно ли?

$ \left\| Ax \right\| = \max_{t\in [a,b]}|x(t)| = \max_{t\in [a,b]} \sqrt{\int\limits_ {-1}^1 x^2(t)\,dt} \leqslant 1$

Значит норма равна единице?

Любопытный ход мысли. Я ничего не понял. В чём смысл правого максимума? И где в доказательстве используется конкретное задание нашего оператора? А попроще нельзя? Типа норма суммы не больше суммы норм?

 
 
 
 Re: Ограниченность и норма линейного оператора
Сообщение10.04.2013, 20:59 
мат-ламер
правый максимум я расписал как норму Чебышева, используя то, что $\left\| x \right\| = \sqrt{(x,x)}$ и то, что скалярное произведение в пространстве $C[a;b]$ есть $\int \limits _a ^b x(t) y(t) dt$. Что именно не так? Ничего попроще мне в голову не пришло :?

PS. мда :facepalm: действительно, оценка неверная, экспонента уже даёт результат больше единицы

 
 
 
 Re: Ограниченность и норма линейного оператора
Сообщение10.04.2013, 21:38 
Аватара пользователя
Насчёт скалярного произведения в $C[a,b]$ я тоже не понял. Но это не должно Вас смущать. Действуйте исходя из определения вашего оператора.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group