Ограниченность и норма линейного оператора

[wronskian]

Здравствуйте, понимаю, что задача тривиальная вроде бы, но никак не могу понять откуда начать.
Доказать, что оператор $Ax(t)=\frac {1}{2} (x(t)+x(-t))$ в пространстве $C[-1;1]$ ограничен и найти его норму.

Линейность очевидна, а вот чем оценить норму оператора?

[wronskian]

Попытался оценить норму. Верно ли?

$ \left\| Ax \right\| = \max_{t\in [a,b]}|x(t)| = \max_{t\in [a,b]} \sqrt{\int\limits_ {-1}^1 x^2(t)\,dt} \leqslant 1$

Значит норма равна единице?

[мат-ламер]

wronskian в сообщении #708270 писал(а):

Попытался оценить норму. Верно ли?

$ \left\| Ax \right\| = \max_{t\in [a,b]}|x(t)| = \max_{t\in [a,b]} \sqrt{\int\limits_ {-1}^1 x^2(t)\,dt} \leqslant 1$

Значит норма равна единице?

Любопытный ход мысли. Я ничего не понял. В чём смысл правого максимума? И где в доказательстве используется конкретное задание нашего оператора? А попроще нельзя? Типа норма суммы не больше суммы норм?

[wronskian]

мат-ламер
правый максимум я расписал как норму Чебышева, используя то, что $\left\| x \right\| = \sqrt{(x,x)}$ и то, что скалярное произведение в пространстве $C[a;b]$ есть $\int \limits _a ^b x(t) y(t) dt$. Что именно не так? Ничего попроще мне в голову не пришло

PS. мда действительно, оценка неверная, экспонента уже даёт результат больше единицы

[мат-ламер]

Насчёт скалярного произведения в $C[a,b]$ я тоже не понял. Но это не должно Вас смущать. Действуйте исходя из определения вашего оператора.