и еще по топологии

[tavrik]

вопрос и ответ на него - у меня не состыковываются с доказаным в книге утверждением.

утверждение:
в любом метрическом пространстве, в котором больше одной точки, есть два открытых непересекающихся множества.

вопрос:
пусть Х бесконечно множество и $\gamma$ топология в которой открытыми считаются все бесконечные множества. доказать что это дискретная топология.

мой вопрос: дискретная топология задается самой простой метрикой.
но если все множества там бесконечные - разве это не значит, что нет непересекающихся?

-- Ср апр 10, 2013 10:34:06 --

ах нет, сори - гоню.
четные и нечетные числа - бесконечные непересекающиеся множества.

[Someone]

tavrik в сообщении #708076 писал(а):

пусть Х бесконечно множество и $\gamma$ топология в которой открытыми считаются все бесконечные множества

Бесконечные подмножества сами по себе не образуют топологии. Во-первых, по определению топологии $X$ и $\varnothing$ должны быть открытыми; во-вторых, для любого конечного подмножества бесконечного множества $X$ легко найти пару бесконечных подмножеста, пересечение которых равно упомянутому конечному подмножеству.

[tavrik]

да, именно так и решается вопрос - пересечение бесконечных множеств дает произвольный элемент. а поскольку это пересечение двух открытых множеств то и элемент(singelton)есть открытое множество а значит и любое другое как объединение элементов --> топология дискретная.

а еще вопрос можно?
в топологическом пространстве даны два непересекающихся множества A, B
дано что А - открытое множество.
доказать что $CLA \cap IntCLB=\varnothing$

-- Ср апр 10, 2013 18:59:46 --

надо взять элемент из пересечения и прийти к противоречию?
пробую но не получается.

[Someone]

Господи, какие у Вас ужасные обозначения...

Используйте такое свойство: если $A$ открыто и $A\cap B=\varnothing$, то $A\cap Cl\,B=\varnothing$.