1-я группа когомологий тора

[myjobisgop]

Здравствуйте.

Необходимо найти первую группу когомологий де Рама тора. Использовать можно только определение, а не всякие приемы типа формулы Кюннета и последовательности Майера-Вьеториса.

Действовал так:

${H_1}(T^2) = {Z_1}(T^2)/{B_1}(T^2)$

Пространство замкнутых форм степени 1 очевидно такое: ${Z_1}(T^2) = \{ \omega \in {{\bigwedge}_1}(T^2) : \frac{\partial a}{\partial x} = \frac{\partial b}{\partial x} \} $, где $\omega \in {{\bigwedge}_1}(T^2)\ ,\ \omega = a(x,y)dx + b(x,y)dy$ - 1-форма на торе. $x,y$- локальные координаты.

Пространство точных форм степени 1: $${B_1}(T^2) = \{ \omega \in \Z_1(T^2) : \exists f(x,y)\ of\ smooth : d(f(x,y)) = \omega\}$

В качестве такой функции я взял функцию: $f(x,y) = $\int_{0}^{x} a(p,0) dp$ + $\int_{0}^{y} b(0,s) ds$$. Однако мне не понятно какие условия поставить на функции a и b, чтобы корректно описать это пространство?

Один хороший человек подсказал, что тор можно представить в таком виде: $T^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$. Откуда будет следовать, что все гладкие функции на торе - периодические по каждому аргументу с периодом 1. Почему это так?