Спектр оператора.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума! Вот такая задача : найти спектр оператора в $L^2 [0,1]$, заданного формулой $Ax(t) = e^{i \cos(1/t^2)} x(t)$. Проблемы начались сразу. Я хотел найти собственные значения : $ e^{i \cos(1/t^2)} x(t) = \lambda x(t)$. Ясно, что $\lambda = 0$ не является собственным значением. Я попытался найти при $\lambda \neq 0$. Не получилось. Может кто имел дело с такого рода задачей. Жду помощи . Спасибо заранее.

[SpBTimes]

Так ведь вроде нет дискретного, или нужны все виды?

[3.14]

Так, немного подумал..У нас это оператор умножения на функцию, т е теперь спектр - множество существенных значений, если я не ошибаюсь..Функция $e^{i \cos(1/t^2)}$ - непрерывная, то тогда спектр - это замыкание от множества значений (вроде так). Остается понять, что будет множество значений $e^{i \cos(1/t^2)}$, при $t \in [0,1]$. Кто понял можете подсказать ?

-- 10 апр 2013, 01:53 --

SpBTimes, нужно все .

[SpBTimes]

Да, это правильно.
На дискретный решается уравнение $ (e^{i \cos(1/t^2)} - \lambda) x(t) = 0$, которое должно выполняться при всех $t$. При $\lambda > 0$ будет $i \cos(1/t^2) + 2 \pi i = \lambda$, примерно такое же при $\lambda < 0$, откуда следует, что дискретного спектра нет. В непрерывный войдет и правда все мн-во значений функции $e^{i \cos(1/t^2)}$ при $t \in [0; 1]$
Можно параметризовать $u = \cos(\cos(1/t^2))$ и $v = \sin(\cos(1/t^2))$ и исследованием ф-ии, заданной параметрически, найти область значений. Как-то лучше я ничего придумать не могу, но интересно.

[3.14]

Что-то легче не стало..) Может тут просто - раз косинус, то $[-1,1]$, ну а раз экспонента, то спектр - $[exp(-i), exp(i)]$. Хотя я сам не верю в это (тут еще формально деление на ноль) ))

-- 10 апр 2013, 03:10 --

Или возможно так..Получается, что множество значений будет дуга единичной окружности (в комплексной плоскости) от $e^i$ до $e^{-i}$..