Интегралы функций, отличающихся на множестве меры нуль

[NyaQ]

Дано $\alpha \uparrow; f_1, f_2$ интегрируемы по Риману-Стильтьесу относительно $\alpha$ на $[a,b]$ и отличаются друг от друга на множестве меры нуль относительно функции $\alpha$. Доказать что $\int_a^b f_1(x)d\alpha = \int_a^b f_2(x)d\alpha$.
Множество называется множеством меры нуль относительно функции $\alpha$, если $\forall \varepsilon > 0 \exists \{[a_i, b_i]\}_i$ - не более чем счетный набор, покрывающий данное множество: $\sum_i |\alpha(b_i)-\alpha(a_i)| < \varepsilon$

Возникает идея как-нибудь доказать, что сумма Римана от $(f_1 - f_2)$ стремится к нулю, но не ясно что делать, когда множество покрывается счетным набором отрезков - их концы не засунуть в конечную сумму.

[gris]

Надо использовать интегрируемость обеих функций. Например, тождественный ноль и функция Дирихле отличаются только в рациональных числах. То есть доказательство не должно проходить для этого случая.

[SpBTimes]

Не достаточно ли просто воспользоваться тем, что $f_1, f_2$ ограничены?

[NyaQ]

То есть колебания $f_1 - f_2$ на множестве точек, где функции отличаются ограничить например $|f_1|+|f_2|$, а $\varepsilon$ устремить к нулю? Вроде идея ясна, только не понимаю как формализовать предельные переходы.

[SpBTimes]

Рассматриваете разбиение отрезка. Если нужно, добавив в него точки, переходите к рассмотрению только сумм, где $\sup|f_1(x) - f_2(y)| > 0$. По условию, это множество меры ноль. С другой стороны, $\sup|f_1(x) - f_2(y)| < 2C < +\infty$. Дальше получается, что сумму можно сделать меньше произвольно заданного $\varepsilon > 0$. Этого достаточно для существования интеграла и равенства его нулю.

[NyaQ]

SpBTimes в сообщении #707532 писал(а):

Если нужно, добавив в него точки

В этом и проблема, как это сделать если их может быть несчетно?

[Sul]

Все как вы и хотели с самого начала: рассматриваем сумму Римана от разности функций на некотором разбиении. Если на отрезке разбиения есть точка, где разность функций равна нулю - выбираем ее в качестве отмеченной. Если же на всем отрезке разбиения разность функций не равна нулю, то из условия легко следует, что этот отрезок имеет альфа-длину равную нулю. Значит вся сумма Римана равна нулю, ну и в пределе тоже будет ноль.

[SpBTimes]

NyaQ в сообщении #707538 писал(а):

В этом и проблема, как это сделать если их может быть несчетно?

А зачем это? Просто сразу рассматриваете тот кусок суммы, на котором разность не обращается в ноль

[NyaQ]

Sul в сообщении #707577 писал(а):

Если на отрезке разбиения есть точка, где разность функций равна нулю - выбираем ее в качестве отмеченной.

gris в сообщении #707510 писал(а):

Например, тождественный ноль и функция Дирихле

В функции Дирихле я на любом отрезке всегда найду такую точку - тем не менее...
И сейчас я опять не понял. Вот возьмем в качестве $\alpha$ функцию $x$ - сведем к интегралу Римана. Разве функция Дирихле от тождественного нуля отличаются не на множестве меры нуль?

SpBTimes в сообщении #707623 писал(а):

Просто сразу рассматриваете тот кусок суммы, на котором разность не обращается в ноль

Тогда почему будет выполняться условие, что $\alpha$-мера этого куска меньше наперед заданного эпсилон? Вдруг "плохие" точки этого куска покрывались несчетным числом отрезков, суммарная мера которых меньше всего отрезка.

[VladimirKr]

Цитата:

И сейчас я опять не понял. Вот возьмем в качестве $\alpha$ функцию $x$- сведем к интегралу Римана. Разве функция Дирихле от тождественного нуля отличаются не на множестве меры нуль?

Да, но функция Дирихле неинтегрируема по Риману

[NyaQ]

VladimirKr в сообщении #707724 писал(а):

Да, но функция Дирихле неинтегрируема по Риману

Это да. Во всяком случае она дает понять, что просто ограниченности функций не хватит.

[NyaQ]

Так там действительно так нельзя делать, или я в чем-то не прав?

[gris]

Разность двух интегрируемых функция интегрируема. То есть существует соответствующий предел и пределы по всем последовательностям разбиений ему равны. Вот и найдём предел по одной из таких последовательностей, а именно той, которая определяет нулевую меру множества различия функций. Тут и ограниченность сработает.

[NyaQ]

То есть мы просто для произвольного $\varepsilon$ говорим, что в предельном переходе будет грубо говоря присутствовать счетное число отрезков, и поэтому разность интегралов заведомо меньше чем $\varepsilon(|f_1|+|f_2|)$?