Мера Лебега

[max(Im)]

Я начал изучать меру Лебега и возник следующий вопрос, может быть кто-то знает ответ.
Пусть имеется функция заданная на измеримом подмножестве $f: E \rightarrow [0, +\infty],$ где $E \in \mathfrak{M}(\mu).$ Будет ли эквивалентным существование интеграла Лебега $\int_E f d\mu$ такой функции и меры Лебега $\mu X$ подграфика $X = \{(x, y) \in R^{n+1} | x \in E, 0 < y \le f(x)\}$ этой функции, и, соответственно, будут ли они совпадать?

Мне кажется, что для простых функций, принимающих конечное число значение, это верно. А при определении интеграла Лебега мы переходим к пределу интегралов по простым функциям, поточечно сходящимся к $f.$ Можно было бы избежать такой сложной процедуры, просто объявив интегралом Лебега меру подграфика для неотрицательной функции.

[AGu]

Для меры на $\mathbb R$ из интегрируемости положительной функции следует измеримость ее подграфика и упомянутое равенство, причем в некоторых курсах это доказывается (например, вот это нагуглилось). Верно ли обратное, и верно ли это в общем случае (для произвольного пространства с мерой) — не знаю, но доказательство для случая меры на $\mathbb R$, вроде бы, вполне себе обобщабельное...

[max(Im)]

Благодарю

[Padawan]

Да, эквивалентно, и будут совпадать. Колмогоров, Фомин стр.314-316 четвёртого издания (с синей обложкой).