Вывести оценку

[--mS--]

NyaQ в сообщении #706972 писал(а):

Или это и имеется в виду (?):

$$\int_k^{k+1}(\int_k^x(|f'(t)|)dt)dx = (\int_k^{k+1}(|f'(t)|)dt)\cdot1$$

Разве $x=k+1$?

[NyaQ]

Цитата:

$\int_k^{k+1}(g(x)-g(k)+|g'(x)|)dx = \int_k^{k+1}(f(k)- \int_k^{x}|f'(t)|dt-f(k)+|(\int_k^{x}|f'(t)|dt)_x'|)dx = \int_k^{k+1}(|(\int_k^{x}|f'(t)|dt)'| - \int_k^{x}|f'(t)|dt)dx$

Можно так доказать, что это больше 0?
$h(x) = |(\int_k^{x}|f'(t)|dt)'| - \int_k^{x}|f'(t)|dt = ||f'(\xi)|(x-k)'| - |f'(\xi)|(x-k) = |f'(\xi)| - |f'(\xi)|(x-k) = |f'(\xi)|(1-x+k) \geq |f'(\xi)|(1-(k+1)+k) = 0$
т.к. $k + 1 \geq x \geq k$
$\exists \xi \in [k,x]$ (по 1-ой теореме о среднем, т.к. $|f'(x)|$ непрерывна).
А значит $h \geq 0 \Rightarrow \int_k^{k+1}h(x)dx \geq 0$

TOTAL в сообщении #706992 писал(а):

Опять не пишете, что хотели сделать, поэтому непонятно, в какой стороне дальше, поэтому я прекращаю участвовать в этом топике.

Я хотел доказать что правая часть больше 0, как Вы и предлагали. Спасибо за помощь.

-- 07.04.2013, 17:02 --

--mS-- в сообщении #706995 писал(а):

Разве $x=k+1$?

А как еще заменить $x$ на $k+1$ ?

[--mS--]

NyaQ в сообщении #706998 писал(а):

А как еще заменить $x$ на $k+1$ ?

Подумать не пробовали? Как связаны интегралы от неотрицательной функции в пределах от $k$ до $x$ и от $k$ до $k+1$, если $k<x\leqslant k+1$?

[NyaQ]

--mS-- в сообщении #707057 писал(а):

Как связаны интегралы от неотрицательной функции в пределах от $k$ до $x$ и от $k$ до $k+1$, если $k<x\leqslant k+1$?

$$\int_k^{k+1}(\int_k^x(|f'(t)|)dt)dx \leq (\int_k^{k+1}(|f'(t)|)dt)\cdot\int_k^{k+1}dx$$

Цитата:

Подумать не пробовали?

Думал не в том направлении.

-- 07.04.2013, 23:45 --

Попытка написать полное решение:

$$f(x)-f(k)=\int_k^x f'(t)dt \leq \int_k^x |f'(t)|dt$$

$$\int_k^{k+1} (f(x)-f(k))dx \leq \int_k^{k+1} (\int_k^x |f'(t)|dt)dx$$

$$\int_k^{k+1} f(x)dx - f(k) \leq \int_k^{k+1}|f'(t)|dt$$

И останется просуммировать по всем $k$.
Потом аналогично:

$$-f(x)+f(k)=\int_x^k f'(t)dt \leq \int_k^x |f'(t)|dt$$

$$-\int_k^{k+1} f(x)dx + f(k) \leq \int_k^{k+1}|f'(t)|dt$$

Тем самым получить неравенство для модуля.
Все верно?

[--mS--]

Типа того. Можно было просуммировать сразу и модуль навесить.