Лобачевского геометрия

[jaz]

Можно ли геометрию лобачевского представить как автоморфизм двухполосного гиперболоида СТО?
и где про это можно почитать
и как написать уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку на этой прямой?

-- 06.04.2013, 18:54 --

я сторонник Эрлангернской программы
те мне подавай группа-инваринты-геометрия
так кто может выписать группу движений в пространстве лобачнвского

[Munin]

Геометрия Лобачевского - это геометрия одной полости двухполосТного гиперболоида в СТО. Автоморфизмы тут будут образовывать несколько другое пространство - группу Лоренца.

В качестве точек геометрии Лобачевского можно выбирать векторы на гиперболоиде (на нужной полости), или что то же самое, прямые, проходящие через начало координат, внутри изотропного конуса. В качестве прямых - линии пересечения плоскостей, проходящих через начало координат, и этого гиперболоида, или что то же самое, сами эти плоскости.

Две прямые на плоскости Лобачевского считаются параллельными, если взять пересекающиеся прямые, и устремить точку пересечения на бесконечность, в одну или в другую сторону (соответственно, могут быть две искомых параллельных). Все остальные непересекающиеся прямые называются расходящимися.

Так что, для данной прямой $Ax^0+Bx^1+Cx^2=0$ и для данной точки $(a,b,c)$ (пересекающих гиперболоид, ${}\wedge {x^0}^2-{x^1}^2-{x^2}^2=1\wedge x^0>0$) мы должны найти такую прямую $Kx^0+Lx^1+Mx^2=0,$ что:
- линия пересечения двух плоскостей будет изотропной,
- и точка будет лежать на искомой прямой.
Для первого пункта нужно решить
$\left\{\begin{array}{l}Av^0+Bv^1+Cv^2=0\\Kv^0+Lv^1+Mv^2=0\end{array}\right.$
относительно неизвестных $(v^0,v^1,v^2),$ положив, например, $v^0=1,$ или оставив произвол, и после этого наложить условие
${v^0}^2-{v^1}^2-{v^2}^2=0.$
Тогда это даст уравнение на коэффициенты $(K,L,M).$ Второе уравнение получится элементарно, подстановкой $(a,b,c)$ в уравнение прямой. Итак, получится два уравнения на три неизвестных, можно наложить какую-нибудь нормировку, а можно оставить произвол.

-- 06.04.2013 19:59:38 --

jaz в сообщении #706680 писал(а):

так кто может выписать группу движений в пространстве лобачнвского

Это группа Лоренца и есть.