Можно ли ограничить дисперсию?

[St.Voland]

Пускай случайная величина $\xi$ заданная на $(a,b),-1<a<0<b<1$ имеет нулевое мат.ожидание. Правда ли, что $D\xi \leq |ab|$?

Мне кажется, что да - но корректно доказать пока не получилось.
Были следующие идеи:
1. Привязать кси к другой с.в. дзета( заданной на тех же $(a,b)$ ) так, чтобы:
Дзета имела простой вид( например, биномиальный ) + первые два момента кси и дзета - совпадали( или чтобы второй момент кси не превышал соотв. момент дзета ). Тут пока ничего хорошего не получилось.
2. Приблизить кси центрированными простыми, обладающими не меньшей дисперсией - потом баловаться с дискретными с.в., но не хватает фантазии, как конкретно их задать.
3. Вероятностные неравенства. Идя по этому пути, стало интересно: Есть ли нормальные условия на с.в., при которых имеет место неравенство: $E({\xi}^{2}) \leq \operatorname{const}{(E\xi)}^{2}$

[ИСН]

Первые две идеи - не о том. По поводу третьей имею спросить: Вы о дисперсии слышали когда-нибудь? Ну, в смысле, что это такое, как она определяется?
По поводу subj - следует построить распределение с максимально возможной дисперсией (оно довольно простое) и посчитать, какая она у него. Именно такая и будет.

[St.Voland]

Сказал бы спасибо, но пока не понял за что.
Непонятен также сарказм в адрес мной написанного. Если я написал глупость, укажите где.
Если вы считаете, что неравенство 3 очевидно при константе в 1, то знак неравенства в другую сторону( возможно вы имеете в виду что-либо другое, тогда прошу нормально об этом написать ).

Хм. Именно первые 2 идеи направлены на построение с.в. с дисперсией побольше - а вы утверждаете что это глупость, но надо искать распределение с максимальной дисперсией. В общем, не убедили, почему 1-2 не есть хорошо.
А вы знаете доказательство того, что ваше распределение с максимально возможной дисперсией? На мой взгляд, это биномиальное распределение - но как это доказать?

[ИСН]

Слова "глупость" у меня в посте не было.

Разумеется, неравенство 3 очевидно (в другую сторону) при константе в 1. Ну дак и перепишите его в общем случае через дисперсию. Получится какое-то условие на дисперсию и матожидание. По-моему, это более нормальный вид. Не знаю, зачем оно Вам нужно, ну да ладно.
Какое биномиальное распределение Вы имеете в виду? Известное мне распределение под таким названием размазано по точкам от 0 до n. А если его пропорционально сжать и перенести на $(a,b)$, дак тогда матожидание будет не в нуле, а надо в нуле.
И самое интересное: почему Вы думаете, что оно чем-то выделяется в смысле дисперсии?

[St.Voland]

Вы правы, не было - но впечатление осталось неприятное.

"Мое" биномиальное - это заданная в 2х точках с.в.
И да, мной доказано что она обладает наибольшей дисперсией.
Тему можно крыть.

[ИСН]

Ну вот если бы Вы с самого начала употребили уместный термин, то и разговор был бы другой.
А так - конечно, это оно. Как увеличить дисперсию? Размазать нашу величину подальше от середины. ОК, гоним влево и вправо. Стоп, упёрлись в стенки. Прижались к ним. Вот оно и получилось. Что это максимум - как бы "очевидно", но если доказали строго, то так ещё лучше.

[Александрович]

...

[Deggial]

Александрович в сообщении #706836 писал(а):

...

Александрович, замечание за бессодержательное сообщение

[_hum_]

St.Voland в сообщении #706591 писал(а):

Пускай случайная величина $\xi$ заданная на $(a,b),-1<a<0<b<1$ имеет нулевое мат.ожидание. Правда ли, что $D\xi \leq |ab|$?

Не совсем понятен вопрос. Ведь если взять, например, вероятностное пространство $\Omega = (-1,1) \subset \mathbb{R}, \mathbf{P}(dx) = (3/4)|x|^{1/2} dx$ и случайную величину $\xi(x) = 1/x$ ($\xi(0) = 0$), то получится, что есть величина, которая задана на нужном вам интервале, у нее есть нужное вам нулевое матожидание, но при этом дисперсия оказывается вовсе не существующей.

[--mS--]

После того, как под "биномиальным" разумелось двухточечное распределение со значениями $a$ и $b$, под словами "заданная на $(a,\,b)$" следует понимать буквально следующее: "$\mathsf P(a\leqslant \xi\leqslant b)=1$". А вовсе не то, что они значат на самом деле. Телепатия, сэр

[_hum_]

Тогда понятно :)