Разбиение C[0,1] на прямую сумму 2-х подпространств.

[truestyle]

Задача 1.80 из задачника Треногина по функциональному анализу:
Представить пространство $C[0,1]$ в виде прямой суммы двух бесконечномерных подпространств.

Я не могу понять, что значит бесконечномерных ? То есть имеется ввиду разложение функции по базису из бесконечного числа элементов ? Если так, то надо использовать разложение функции в какой-то ряд...Фурье может быть ? Тогда надо какой-то ортогональный базис выбрать.
Предположим, что я уже представил $C[0,1]$ в виде прямой суммы 2х подпространств, тогда как доказать их замкнутость ? (по определению в треногине подпространство - это замкнутое линейное многообразие).

[мат-ламер]

truestyle в сообщении #706548 писал(а):

Я не могу понять, что значит бесконечномерных ?

Это постранство, где нет конечного базиса. Что есть базис, см.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81.

[Oleg Zubelevich]

решите сперва эту задачу для пространства $C[-1,1]$

[truestyle]

Oleg Zubelevich в сообщении #706569 писал(а):

решите сперва эту задачу для пространства $C[-1,1]$

Так как тут область определения функции симметрична относительно нуля, то её можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Множество четных и нечетных функции образуют линейные многообразия(это очевидно). Но как доказать что это подпространства ? То есть множество четных и нечетных функций замкнуто. У меня с этим проблемы.

[мат-ламер]

truestyle в сообщении #706578 писал(а):

Но как доказать что это подпространства ? То есть множество четных и нечетных функций замкнуто. У меня с этим проблемы.

Перейти к пределу в обеих частях равенства.

[truestyle]

мат-ламер в сообщении #706762 писал(а):

truestyle в сообщении #706578 писал(а):

Но как доказать что это подпространства ? То есть множество четных и нечетных функций замкнуто. У меня с этим проблемы.

Перейти к пределу в обеих частях равенства.

Какого равенства ? Напишите, пожалуйста.

[мат-ламер]

truestyle в сообщении #707088 писал(а):

Какого равенства ?

Определение чётной (или нечётной) функции для $f_n(x)$.

[truestyle]

мат-ламер в сообщении #707094 писал(а):

Определение чётной (или нечётной) функции для $f_n(x)$.

Пусть $f_n(x) \rightarrow f(x)$ при $n\rightarrow\infty$, тогда $0.5(f_n(x) + f_n(-x)) \rightarrow 0.5(f(x) + f(-x))$

Отсюда следует, что если последовательность функций сходится, то её четное(нечетное) представление сходится к четному(нечетному) представлению предельной функции. Вы это имели ввиду ?

[мат-ламер]

truestyle в сообщении #707413 писал(а):

Вы это имели ввиду ?

Но не в такой записи. (Знака равенства я у Вас не увидел). Хотя это значение не имеет. У Вас левая часть от стрелки сходится к нулю. Следовательно, правая часть равна нулю. Следовательно, предельная функция чётна.

[truestyle]

Получается, что я нашёл решение для $C[-1,1]$. Как теперь вернуться к моей задаче (вернуться к разбиению пространства $C[0,1]$) ? Тут же область не симметрична относительно нуля. Как воспользоваться результатом ? В каком направлении думать ?

[bot]

Это уже даже мне ясно - сдвиг и масштабирование.

[truestyle]

bot в сообщении #707603 писал(а):

Это уже даже мне ясно - сдвиг и масштабирование.

Вы имеете ввиду, что нужно рассмотреть функции вида $f(\frac{1}{2}(x+1))$ на $C[-1,1]$ ?