Человеколитры

[vvb]

Добрый день
Тут в Глобальной Помойке появилась такая штука.

Понятно, что учитель прав насчет некорректности решения, хотя тройка за такую ошибку - вопрос дискуссионный.
При обсуждении у меня возник ступор: если умножение вводится, как повторяющееся сложение, то как умножать размерные величины?
И вообще, если сами числа образуют поле, то какая математическая структура описывает размерные величины? Читал, что сами размерности образуют группу.
Как умножать 1 метр на 1 метр?
Я не математик, поэтому не бейте по голове - это мое больное место.

[Deggial]

Обсуждение корректности решения находится здесь здесь, если хотите обсуждать его, то прошу пройти в тему по ссылке (в случае продолжения обсуждения этого вопроса в этой теме данная тема будет закрыта или объединена с той).

vvb в сообщении #706484 писал(а):

как умножать размерные величины?

Если интересует именно этот вопрос, то обсуждать лучше здесь.

vvb в сообщении #706484 писал(а):

как умножать размерные величины?
И вообще, если сами числа образуют поле, то какая математическая структура описывает размерные величины? Читал, что сами размерности образуют группу.
Как умножать 1 метр на 1 метр?

Я точно не знаю, но алгебраическая структура имеет примерно такой вид: пусть есть некоторое поле $\mathcal{F}=\langle F;+;\cdot \rangle$ и некоторое [бесструктурное] множество размерностей $M$, пусть пока $M$ конечное (например, $M=\{\text{м, кг, с}\}$).
Построим множество произвольных размерностей $L(M)$, порожденных $M$: $L(M)$ - $\mathbb{Z}$-модуль над $M$ как над базисом, записываемый в мультипликативной форме. (Например, если $\text{м}, \text{кг}, \text{с}$ - размерность, то $\text{м}^{-3}\cdot\text{кг}^2\cdot\text{с}^4$ - размерность). Возможно, можно брать не $\mathbb{Z}$-модуль, а $\mathbb{Q}$-модуль (и тогда, например, $\text{кг}^{1/2}$ - тоже размерность). Операция только одна: умножение. В любом случае $\langle L(M);\cdot \rangle$ является конечно порожденной абелевой группой без кручения, её размерность $|M|$.
Построим структуру $\mathcal{A}(\mathcal{F},M)=\langle F\times L(M);+;\cdot\rangle$. Элементы $F\times L(M)$ - это пары $(x,d), x\in F, d\in L(M)$, они перемножаются покомпонентно: $(x_1,d_1)\cdot (x_2,d_2)=(x_1x_2, d_1d_2)$, а сумма $(x_1,d_1)+(x_2,d_2)$ определена тогда и только тогда, когда $d_1=d_2$ (смысл простой: перемножать можем что угодно, а складывать можем только величины одинаковой размерности).
$\mathcal{A}(\mathcal{F},M)$ - искомая Вами структура, как она называется - я не знаю. В ней еще не отражен тот факт, что от величин пустой размерности можно брать, например, синусы, экспоненты и логарифмы. И дифференцирования не отражены.

[iakovk]

Deggial в сообщении #706491 писал(а):

И дифференцирования не отражены.

Ну, вообще-то дифференцирование с точки зрения размерностей - это то же самое, что и деление, нет?

[Deggial]

iakovk в сообщении #706525 писал(а):

Ну, вообще-то дифференцирование с точки зрения размерностей - это то же самое, что и деление, нет?

Да, конечно.

[provincialka]

Если следовать теории измерений, для размерных величин можно задавать среднее (во всех количественных шкалах), сумму и разность (в шкалах отношений) и все остальные арифметические действия - в абсолютной шкале, которая по сути уже безразмерна.

Но это в том случае, если хотим получить результат того же типа. В некоторых случаях можно создавать комбинированные единицы измерения (м/с2), но только с помощью умножения и деления. Видимо, это связано с тем, что в основных шкалах численные значения задаются с точностью до постоянного множителя, причем у каждой величины - своего.

С другой стороны, в абсолютной шкале возможностей больше. В принципе, можно сложить 3 стола и 6 стульев, да еще добавить туда фикус. И получить 10 предметов для перевозки. Потому что у этих величин, по сути, один эталон - штука.

Но это все теория. А каков может быть смысл у производных единиц измерения? Ну, еще литры/сек2 я могу понять (ускорение изменения количества жидкости). А вот что такое рубль в квадрате? Ума не приложу, где такое можно использовать.

[g______d]

Ну можно еще пытаться говорить, что размерные величины --- это сечения векторных расслоений. Обратная величина --- это двойственное расслоение, произведение --- тензорное умножение. А безразмерные величины --- это скалярные функции, они же сечения тривиального расслоения. Расслоение может быть одномерным (так и будет для размерных скаляров).

[Oleg Zubelevich]

Если б Маря Иванна знала как далеко все зайдет

[vvb]

Deggial в сообщении #706491 писал(а):

Обсуждение корректности решения находится здесь здесь, если хотите обсуждать его, то прошу пройти в тему по ссылке (в случае продолжения обсуждения этого вопроса в этой теме данная тема будет закрыта или объединена с той).

Да, хотя обсуждение решения я увидел уже позже, меня в первую очередь интересовали именно размерности.

Deggial в сообщении #706491 писал(а):

$\mathcal{A}(\mathcal{F},M)$ - искомая Вами структура, как она называется - я не знаю. В ней еще не отражен тот факт, что от величин пустой размерности можно брать, например, синусы, экспоненты и логарифмы. И дифференцирования не отражены.

Спасибо. Мысль моя где-то в таком направлении и крутилась ))

g______d в сообщении #706832 писал(а):

Ну можно еще пытаться говорить, что размерные величины --- это сечения векторных расслоений. Обратная величина --- это двойственное расслоение, произведение --- тензорное умножение. А безразмерные величины --- это скалярные функции, они же сечения тривиального расслоения. Расслоение может быть одномерным (так и будет для размерных скаляров).

Этого я ваще не понимаю
Алгебру еще как-то изучал, а вот эту штуковину - нет.

А вообще, эта тема как-то формализована общепринятым способом?

[Tuttis]

Относительно размерностей. Меня конечно, очень радует, что люди у нас знают алгебру и всякие хитрые понятия математические. Но что меня безмерно удручает, так это то, что понятием меры, процесса измерения люди не владеют даже на уровне школьной программы 2 класса :(

Судя по жж, эта проблема у нас имеет уже масштаб национального бедствия. Когда на полном серьезе люди рассуждают о некоммутативности умножения размерных величин.

Я не поленилась собственноручно порыться в минобразовских документах - программах, требованиях к учащимся 2 класса (так то я физику преподаю и старшим).

И что вы думаете? Каково было мое изумление, когда выяснилось, что по утвержденным стандартам и программам дети после второго класса ОБЯЗАНЫ понимать правильный смысл физических по сути понятий - меры, измерения.

Откуда же берется весь тот бред, который сейчас льется отовсюду про первичность литров а не людей? а именно из попытки приучить к одной единственной "верной" записи решения задач. Люди с детства на всю жизнь запоминают, что размерность результата=размерности первого множителя. Людям корежат мозги те, кто на полном серьезе полагает, что можно в результате неправильного умножения получить людей, а не литры.

Я вам щас объясню, как работать с размерными величинами- безо всяких линейных алгбер и прочих зубодробительных абстракций.

-- 07.04.2013, 17:53 --

Начнем с самого простого. C понятия меры.
Что означают выражения 2 метра, три литра, пять яблок, 8 часов, 6 глоких куздр?

Что такое метр и вообще зачем он нужен? Забудьте на время про всякие высшие алгебры и посмотрите на ситуацию чисто житейскую.

Например, вам нужно отыскать в куче досок, сваленных на заднем дворе - одну доску определенной длины (например, чтобы заменить прогнившую доску в полу) - при этом вы НЕ имеете ни линеек, ни сантиметровых лент, ни даже веревок.

Ваши действия?
Программа минобраза за второй класс средней школы (причем первого полугодия - до введения умножения еще) подразумевает, что вы будете действовать следующим образом:

найдете более-менее ровную и приятную для ваших глаз палочку, с которой удобно обращаться; размашисто на ней напишете какое нибудь магическое слово (какое вам нравится) - бутявка, сепулька - тут полный простор для воображения; так как смысл все равно один - эталон единицы длины.

Потом выясните, сколько бутявок содержится в длине вашей прогнившей доски - путем тупого прикладывания бутявки к доске. Потом пойдете на задний двор и там выберете новую доску, в которой укладывается столько же бутявок, сколько и в старой. после чего чините свой пол и больше к вам крысы по ночам в постель не лезут.

Вы воспользовались бутявкой, как эталоном единицы длины - вы выбрали единицу длины - так, как вам бог на душу положил. Вы нашли подходящую меру, мерку. и выяснили, что в длине конкретной доски укладывается ровно 5 бутявок.

Этот пример практический доступен для понимания?

Если да, поехали дальше. Вторым номером цирковой программы мы выясним, что же значит выражение 5 бутявок 7 сепулек и - о боже - 10 метров.

-- 07.04.2013, 18:21 --

Прежде чем продолжить дальше, обращу ваше особое внимание на то, что вы могли заметить уже из практического примера. А именно, что бутявка - это не математическая абстракция. а вполне реальный физический объект - палочка, которую вы назвали как вам понравилось.

Теперь задайте себе вопрос - что может сказать математика о реальном физическом объекте? Какими суровыми алгебраическими теориями вы объясните ваш выбор бутявки и ее использование - если математика оперирует абстракциями - числами и прочими более сложными вещами, а бутявка - конкретна? Можно взять квадратный корень из бутявки? Из палки? можно возвести бутявку (палку) в степень? можно простым магическим заклинанием "умножить на" превратить палку в три раза большую?

Таким образом подходим к понимаю смысла выражений 5 метров, три литра и так далее.

5 метров означает "взять 5 раз по эталону длины - по метру". Три литра - взять 3 раза по эталону объема - по литру. Семь сепулек - взять семь раз по эталону сепулькерии.

Поскольку вы все таки не второклашки, осмелюсь упомянуть операцию деления - для большей ясности ситуации.

Когда вы отвечаете на вопрос сколько раз нужно взять палок для получения нужной длины - вы фактически что делаете? ДЕЛИТЕ. Размер доски на размер измерительной палки. То есть - ищете ОТНОШЕНИЕ между размером доски и эталона. N метров: 1 метр.

Сколько раз линейка в 1 м укладывается в 5 метровой акуле? 5 раз

С точки зрения физики в процессе измерения вы ищете отношение между единицей длины и длиной акулы. Отношения - всегда безразмерны; если вы измерите акулу в метрах - у вас получится 5 раз укладывали метровую палку в акулу, а если в собственных ступнях - у вас получится допустим, 20 раз укладывали в акулу свою ступню. Что правильнее? Что логичнее?

Верный ответ: по барабану. до тех пор, пока вы пользуетесь одной и той же меркой для решения всех проблем, связанных с длиной акулы. Но если вы акулу измерите в метрах, а дыру в ограждении пляжа - в ступнях- и начнете делать какие то выводы - типа - сколько нужно отмотать сетки от рулона, чтобы закрыть дыру - у вас случится кака. В реальной жизни. Акула кого-нибудь съест.

Таким образом запись 5 метров => 5 раз по метру=>5*1м или в любимой учителками нотации - 1м*5. Где 5 - это БЕЗРАЗМЕРНАЯ величина, число, показывающее, сколько раз в вашей доске уложился выбранный вами эталон длины - МЕТР - который по сути своей - ФИЗИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ. о чем и призвана напоминать пресловутая буковка м в записи.

Теперь посмотрим, как ведут себя размерности при вычислениях.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Tuttis в сообщении #707011 писал(а):

А именно, что бутявка - это не математическая абстракция. а вполне реальный физический объект - палочка, которую вы назвали как вам понравилось.

Несогласен. Есть сама бутявка - физический объект, и есть абстракция бутявки - класс всех палок, равных бутявке. Т.е. в физике если взять две разные палки одинаковой длины, то никто не будет различать системы измерения, ими порожденные вышеописанным образом. И можно также рассматривать абстрактные объекты и абстрактный процесс их измерения. Не буду пытаться описывать, потому что лень. Можно также заметить, что однажды бутявка сгниет, но мера измерения от этого почему-то не исчезает ни на йоту.

Tuttis в сообщении #707011 писал(а):

Теперь задайте себе вопрос - что может сказать математика о реальном физическом объекте?

Если вопрос вне контекста понимать, то вполне себе может.

Я понимаю основную цель Вашего поста и я с ней солидарен. Цель моего поста - устранить некоторые частные ошибки, не отменяющие достижение Вашей цели. Т.е. я надеюсь, что Вы меня правильно поймете.

[nikvic]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #707073 писал(а):

Есть сама бутявка - физический объект, и есть абстракция бутявки - класс всех палок, равных бутявке.

Первородные бутявки однажды были сделаны из платины с иридием и хранятся в палатах мер и весов.

[Tuttis]

Sonic86 в сообщении #707073 писал(а):

Есть сама бутявка - физический объект, и есть абстракция бутявки - класс всех палок, равных бутявке.

класс всех палок, лент, веревок - равных по длине бутявке - какая же это абстракция? это класс физических, а не математических объектов.

абстракции бутявочные никому не нужны от слова вообще - потому что вся ценность бутявок заключается как раз в том, что их ФИЗИЧЕСКИ МОЖНО РУКАМИ ВЗЯТЬ И ПРИЛОЖИТЬ к измеряемой величине.

Объясните, какая польза продавцу ткани от абстракции сантиметровой ленты???

на кой ему нужна абстракция - ему нужна конкретная совершенно гибкая лента длиной в один метр.

вообще говоря производство копий эталонной бутявки, лежащей под строгой охраной в Палате мер и весов - это отдельный совершенно квест.

сегодня промышленное производство копий эталона длины ( метра) - это одно из самых прецизионных и сложных производств. можно сказать, прямо ювелирных. по сложности и точности.

Так вот извините меня, заводы, выпускающие линейки, измерительные ленты и все такое - НЕ занимаются производством абстракций.

Вообще говоря, выпуск измерительных приборов и их калибровка- дело очень не простое. Какая же это абстракция - меры - чего нибудь - если целые специализированные лаборатории корячатся в поту с получением лицензий и организацией специальных особо точных параметров хранения и калибровки так называемых бутявок..

Любая бутявка считается пригодной к измерению в течение конечного времени, после которой ее надо перенастраивать заново- в условиях идеальных или приближенных к ним.

Вы аптекарские весы видали? которые годятся для взвешивания очень маленьких масс - намного меньше привычных нам в быту величин. это и в средние века и сегодня - одни из самых хитроумных и сложных инструментов, придуманных человеком. и очень чувствительных.

Ничего себе абстракция...

[Sonic86]

(nikvic)

nikvic в сообщении #707078 писал(а):

Первородные бутявки однажды были сделаны из платины с иридием и хранятся в палатах мер и весов.

Ну да. А там еще есть прикол с узнаванием все новых физических законов и в силу этого выработка более точного определения метрических единиц. Например, если я не ошибаюсь, сейчас метр определяют как расстояние, проходимое светом за столько-то (описано очень точное число с 9-ю знаками) секунд в вакууме. Такая бутявка не хранится в палате мер и весов.

(Tuttis)

Tuttis в сообщении #707085 писал(а):

класс всех палок, лент, веревок - равных по длине бутявке - какая же это абстракция? это класс физических, а не математических объектов.

Класс физических объектов - это абстракция (если непонятно: это класс всех будущих и прошлых палок. Этот класс бесконечен).

Tuttis в сообщении #707085 писал(а):

абстракции бутявочные никому не нужны от слова вообще

Не хотите понимать - не надо, я Вас не заставляю. Спорить с паладинами мне лень - все равно толку не будет.

[g______d]

vvb в сообщении #706857 писал(а):

Этого я ваще не понимаю
Алгебру еще как-то изучал, а вот эту штуковину - нет.

А вообще, эта тема как-то формализована общепринятым способом?

Не знаю. Мне казалось, я от кого-то слышал эту идеологию, но сейчас не мог найти.

Вместо векторных расслоений для простоты можно брать векторные пространства. Смысл такой, что в $\mathbb R$ есть выделенный базис (единица), а в одномерном векторном пространстве над $\mathbb R$, вообще говоря, нет. Выбирая этот базис, мы фиксируем эталон соответствующей величины. Соответственно, перемножать мы два элемента векторного пространства тоже не можем (потому что результат зависит от базиса), но можно рассмотреть тензорное произведение, оно будет элементом другого (но тоже одномерного) векторного пространства. Типа того, что $\text{кг}\cdot\text{кг}=\text{кг}^2$.

Кстати, кто-нибудь может мне ответить на вопрос --- почему килограммы обязаны коммутировать с метрами?

-- 08.04.2013, 01:25 --

Вот, кстати, какой-то математический аппарат есть здесь

http://en.wikipedia.org/wiki/Dimensional_analysis

Хотя это скорее по поводу сказанного Deggial.

-- 08.04.2013, 01:37 --

Tuttis в сообщении #707092 писал(а):

Если глянуть на человечество в целом, то несложно заметить, что и не только среди детей очень много вещей вертится вокруг этих трех мер. В быту обычного человека - подавляющее большинство мер представляют собой именно меры времени, длины и массы, а также их комбинации

Температуру забыли. Всё-таки подавляющее большинство людей не считают, что $k=1$.

[profrotter]

Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерения. - М.: Мир, 1980, главы 2,3.