Система уравнений

[Ktina]

Сколько решений имеет система

$$ \begin{cases} x^3\cdot\sqrt{1-y}=\sqrt{1-z} \\ y^3\cdot\sqrt{1-x}=z^3 \end{cases} $$

в неотрицательных вещественных числах?

[TelmanStud]

Решение:
Т.к. ищем действительные решения то $0 \leqslant x, y, z \leqslant 1$
Из первого тогда получим, что $ \sqrt{1-y}\leqslant \sqrt{1-z}$ или $ y\geqslant z$
Из второго находим $y \leqslant z $, т.е $z=y$;
Учитывая это первое уравнение приведется $x^3=1$, а второе$\sqrt{1-x}=1$.Эти уравнения несовместны. Но мы при деление не учли, что делители могли быть нулями. Учитывая это получим два решения ${0,1,1}$ и ${1,0,0}$.
Ответ: 2.

[Shadow]

TelmanStud в сообщении #706438 писал(а):

Из второго находим $y \le z$

Почему? Из второго $y \ge z$

[nnosipov]

TelmanStud в сообщении #706438 писал(а):

з первого тогда получим, что $ \sqrt{1-y}\leqslant \sqrt{1-z}$ или $ y\geqslant z$

Тоже неверно, всё наоборот

[TelmanStud]

Произведение чисел от 0 до 1 всегда меньше или равно самножителей.

[nnosipov]

TelmanStud в сообщении #706455 писал(а):

Произведение чисел от 0 до 1 всегда меньше или равно самножителей.

Вы лучше ещё раз перечитайте свое решение и найдите в нём ровно две ошибки. А идея решения, конечно, правильная.

[TelmanStud]

извиняюсь попутал но $ y=z$ влюбом случаи вытекает

[Ktina]

Из верхнего уравнения следует

$$x<1\to z>y$$

А из нижнего

$$x>0\to z<y$$

Это говорит нам лишь о том, что $x$ не может быть одновременно больше нуля и меньше единички.
Остаётся ровно два варианта ($x=0$ и $x=1$), которые легко проверить вручную.

-- 06.04.2013, 11:29 --

Если $x=0$, получаем решение $(0, 1, 1)$
Если же $x=1$, получаем ещё одно решение $(1, 0, 0)$