Погружение 3-сферы в евклидово пространство

[g______d]

Bulinator в сообщении #708873 писал(а):

для окружности необходимо минимум $1^2+5\times 1+3=9$-мерное пространство.(О! прям как в супергравитации )

Для окружности достаточно не 9, а 2. Любую метрику на окружности можно привести к стандартной с помощью перепараметризации.

[Bulinator]

Тогда я вообще ничего не понимаю.

[g______d]

Давайте так: любые два гомеоморфных окружности гладких римановых многообразия равного объема изометричны. Понимаете почему?

[Munin]

Bulinator в сообщении #708873 писал(а):

Они функции величин $j$, которые в свою очередь функции точки $M$.

Не годится. Они должны быть (и) функцией точки $M$ непосредственно. Например, $j$ могут быть одинаковыми, а $A$ - разными.

Bulinator в сообщении #708873 писал(а):

Насколько я могу это себе представить, то получается плоская замкнутая кривая

У меня плохо получилось описать. Тогда (схожий, но несколько другой пример), линия основания трубы паровоза. (Это линия пересечения двух цилиндров с разными радиусами, пересекающимися осями, и одна из двух веток.)

Bulinator в сообщении #708873 писал(а):

А вот искривленное велосипедное колесо(как в "Ну погоди!")- нельзя.

Тоже годится.

[Bulinator]

g______d в сообщении #708897 писал(а):

любые два гомеоморфных окружности гладких римановых многообразия равного объема изометричны. Понимаете почему?

Что значит выражение "два многообразия изометричны?"

Для двух окружностей равного объема имеем

$$\int\limits_0^{2\pi_1}\sqrt{g_1(\varphi_1)}d\varphi_1=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{g_2(\varphi_2)}d\varphi_2$$

А дальше?

-- Пт апр 12, 2013 11:40:14 --

Нужно доказать, что существует отображение

$$\varphi_2=f(\varphi_1),$$

такое, что

$$\sqrt{g_2(\varphi_2)}d\varphi_2=\sqrt{g_2(\varphi_1)}d\varphi_1?$$

Это значит, что уравнение

$$\sqrt{g_2(f(\varphi_1))}\frac{df}{d\varphi_1}=\sqrt{g_1(\varphi_1)}$$

имеет решение. Да?

-- Пт апр 12, 2013 11:43:56 --

Ну понятно. Сначала возьмем $g_2=1$. Получится

$$f=\int\limits_0^{\varphi_1}\sqrt{g_1(t)}dt,$$

а дальше понятно.

Munin в сообщении #708921 писал(а):

Не годится. Они должны быть (и) функцией точки непосредственно.

Точно! Еще, м.б. и метрики $g_{ij}$. Впрочем, понятно, что $A$- функционал. Т.е. после ее подсчета, она уже не зависит ни от чего.