2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на метод Лагранжа
Сообщение04.04.2013, 00:27 


03/04/13
2
Помогите пожалуйста разобраться.
Есть задача минимизации.
$F\to \min;$
$\text{Основная функция:}\quad\quad F(x_1,x_2,...x_n): X\to R;$
$\text{Ограничения:}\,\,\begin{cases} \sum\limits_{i\in[n]} x_i = 1;\\x_3+x_4= 0.5; \end{cases}$
$\text{Область поиска}\,\, X:\,\,\begin{cases}0<x_i<1,\quad i\in [n];\\x_1+x_2<1;\end{cases}$
Тут нужно воспользоваться теоремой Каруша-Куна-Таккера или каким-нибудь ее следствием (каким конкретно я не понял пока). Поиск точки минимума будем вести стандартным методом множителей Лагранжа.
Запишем Лагранжиан
$\Lambda = F(x_1,x_2...x_n) + \lambda_0 \left(\sum\limits_{i\in [n]}x_i - 1\right) + \lambda_1 (x_3+x_4-0.5)$
Потом записываю необходимые условия экстремального решения
$\frac{\partial \Lambda}{\partial x_i}=0,\quad i\in[n]\,\,\, (1)$
Далее у меня получается, что матрица, составленная из вторых производных $\frac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_i \partial x_j}$ Лангранжиана (=функции F в данном случае), является положительно определенной во всей области X, и все ее элементы больше 0.
Затем угадываю некоторое решение системы уравнений (1) и соотвественно говорю, что это решение единственно в силу выпуклости задачи Лагранжа.
Мой вопрос: действительно ли найденное решение будет единственной точкой достижения минимума функции F, если да, то объясните пожалуйста //подробно, со ссылками на теоремы//.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на метод Лагранжа
Сообщение05.04.2013, 19:19 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
В рассуждениях никак не учитывается область поиска. И что делать, если решение системы в эту область не попадает? Если попадает, то всё хорошо, и можно сослаться на достаточное условие второго порядка для задачи с ограничениями в виде равенств. Есть в любом учебнике анализа. Положительная определённость лагранжиана на всём пространстве немного слишком сильное условие. Достаточна пол. определённость на некотором подпространстве. Если учитывать область поиска в виде ограничения в виде неравенств, то там всё гораздо сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на метод Лагранжа
Сообщение05.04.2013, 21:36 


03/04/13
2
Как мне известно, область поиска не обязана быть $R^n$, уж точно можно как в моем случае, а именно выпуклая открытая область X. Далее матрица вторых производных лангранжиана положительно определенная именно в X, на границе X определитель матрицы вторых производных бесконечный, а в $R^n$ так и вовсе любого знака. Решение я нахожу точно в X (забыл написать это).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group