Задача на метод Лагранжа

[poldniknikita]

Помогите пожалуйста разобраться.
Есть задача минимизации.
$F\to \min;$
$\text{Основная функция:}\quad\quad F(x_1,x_2,...x_n): X\to R;$
$\text{Ограничения:}\,\,\begin{cases} \sum\limits_{i\in[n]} x_i = 1;\\x_3+x_4= 0.5; \end{cases}$
$\text{Область поиска}\,\, X:\,\,\begin{cases}0<x_i<1,\quad i\in [n];\\x_1+x_2<1;\end{cases}$
Тут нужно воспользоваться теоремой Каруша-Куна-Таккера или каким-нибудь ее следствием (каким конкретно я не понял пока). Поиск точки минимума будем вести стандартным методом множителей Лагранжа.
Запишем Лагранжиан
$\Lambda = F(x_1,x_2...x_n) + \lambda_0 \left(\sum\limits_{i\in [n]}x_i - 1\right) + \lambda_1 (x_3+x_4-0.5)$
Потом записываю необходимые условия экстремального решения
$\frac{\partial \Lambda}{\partial x_i}=0,\quad i\in[n]\,\,\, (1)$
Далее у меня получается, что матрица, составленная из вторых производных $\frac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_i \partial x_j}$ Лангранжиана (=функции F в данном случае), является положительно определенной во всей области X, и все ее элементы больше 0.
Затем угадываю некоторое решение системы уравнений (1) и соотвественно говорю, что это решение единственно в силу выпуклости задачи Лагранжа.
Мой вопрос: действительно ли найденное решение будет единственной точкой достижения минимума функции F, если да, то объясните пожалуйста //подробно, со ссылками на теоремы//.

[мат-ламер]

В рассуждениях никак не учитывается область поиска. И что делать, если решение системы в эту область не попадает? Если попадает, то всё хорошо, и можно сослаться на достаточное условие второго порядка для задачи с ограничениями в виде равенств. Есть в любом учебнике анализа. Положительная определённость лагранжиана на всём пространстве немного слишком сильное условие. Достаточна пол. определённость на некотором подпространстве. Если учитывать область поиска в виде ограничения в виде неравенств, то там всё гораздо сложнее.

[poldniknikita]

Как мне известно, область поиска не обязана быть $R^n$, уж точно можно как в моем случае, а именно выпуклая открытая область X. Далее матрица вторых производных лангранжиана положительно определенная именно в X, на границе X определитель матрицы вторых производных бесконечный, а в $R^n$ так и вовсе любого знака. Решение я нахожу точно в X (забыл написать это).