Ряд Фурье

[oniksofers]

Требуется найти ряд Фурье для функции
$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}$ где $|q|<1 $
Проблема состоит в том, что, я банально не знаю, с чего подступиться
Пробовал считать в лоб, получал интеграл вида
$\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(nx)\cos(mx)}{\sin x}dx$
Который совсем не понимаю, как брать.

[Sonic86]

oniksofers в сообщении #705201 писал(а):

Требуется найти ряд Фурье для функции
$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}$ где $|q|<1 $

А точно надо? А то проще найти ряд Фурье для функции $f(x)\sin x$

[oniksofers]

Sonic86 в сообщении #705203 писал(а):

oniksofers в сообщении #705201 писал(а):

Требуется найти ряд Фурье для функции
$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}$ где $|q|<1 $

А точно надо? А то проще найти ряд Фурье для функции $f(x)\sin x$

Гм, предположим мы найдем ряд $f(x)\sin(x)$, и получится, что можно будет просто так взять и выразить из выражения для $f(x)\sin(x)$ $f$ ?

[sup]

Стоит перейти в комплексную плоскость: $z = e^{ix}$. Ряд суммируется. Сумма простая. После этого надо разложить ее в ряд Лорана.

[oniksofers]

sup в сообщении #705215 писал(а):

Стоит перейти в комплексную плоскость: $z = e^{ix}$. Ряд суммируется. Сумма простая. После этого надо разложить ее в ряд Лорана.

ТФКП еще не было, поэтому смутно представляю о чем идет речь( по поводу ряда Лорана)

[sup]

Хм, ну тогда попробуйте разложить произведение синуса и косинуса в сумму и использовать равенство
$\sin (k+2)x = \sin kx + 2\sin x \cos (k+1)x$

[ex-math]

Раз Вы изучаете ряды Фурье, то должны знать, что $\frac{\sin nx}{\sin x}$ -- это ядро Дирихле, которое есть сумма косинусов.

[oniksofers]

ex-math в сообщении #705490 писал(а):

Раз Вы изучаете ряды Фурье, то должны знать, что $\frac{\sin nx}{\sin x}$ -- это ядро Дирихле, которое есть сумма косинусов.

Про ядро Дирихле знаю, но, извините за глупость, в моем представлении ядро Дирихле есть:
$D_{n}(x)$=\sum_{k=-n}^{n}\exp(ikx)=\frac{\sin((n+\frac{1}{2})x)}{2\sin(x/2)}
Я ошибаюсь?

[ex-math]

А если так же посчитать

$$ e^{-i(n-1)x}+e^{-i(n-3)x}+\ldots+e^{i(n-3)x}+e^{i(n-1)x}? $$