2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 14:10 


29/03/13
76
Пусть $\{ x_n\} $ - возрастающая последовательность положительных корней уравнения
$\tg x=x$.

Доказать, что при $n\to \infty $
$x_n=\frac{\pi }{2}+\pi n+o(1)$.

(Оффтоп)

Не первый раз встречаю, а как вывести асимптотику не представляю. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Начнём с ерунды. Между чем и чем находится $x_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:38 


29/03/13
76
ИСН
эээ... - $\pi n<x_n<\pi (n+\frac{1}{2}),\ n=1,2,... $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Это у Вас что получается - в среднем примерно один корень на каждые $\pi\over2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:43 


29/03/13
76
ИСН
Поспешил. Поправил. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ага, так-то лучше. Щас...

-- Вт, 2013-04-02, 16:47 --

Теперь такое дело. $x_n=\tg x_n$, но толку в этом мало. Надо как-то исхитриться и переписать это через арктангенс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:55 


29/03/13
76
Ага, арктангенс, который в ряд...? :-) $x_n=\arctg x_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Вы график арктангенса видели когда-нибудь? Сколько у такого уравнения корней? Три? Двадцать? Ни одного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:23 


29/03/13
76
Касание происходит только в начале координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
То есть корень один. А у Вас в оригинальном уравнении их бесконечно много. Это возвращает нас к вопросу, как всё-таки выразить их через арктангенс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:30 


29/09/06
4552
А я бы заменил $x_n$ на $\varepsilon_n$: $x_n=\pi\left(n+\frac12\right)-\varepsilon_n$, и возился бы с маленькими епсилонами.

-- 02 апр 2013, 17:31:53 --

Глядишь, там и вожделенные арктангенсы как-то пролезли бы.

-- 02 апр 2013, 17:32:41 --

ИСН, можете удалить моё сообщение, если оно мешает процессу поиска асимптотики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:44 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

zychnyy в сообщении #704787 писал(а):
Касание происходит только в начале координат.

Ну накидайте на координатную сетку еще арктангенсов, вам что жалко, ИСН же просит)

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 17:04 


29/03/13
76

(Оффтоп)

Нужно что-то куда-то повернуть?


-- 02.04.2013, 20:28 --

Ну, хорошо: $x_n=\arctg x_n+\pi n$. Как такой вариант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Во! Изображение Изображение
Теперь следующий вопрос: при росте n (а с ним и $x_n$) куда стремится первое слагаемое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 18:53 


29/03/13
76
ИСН к $\frac{\pi }{2}$. :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group