Доказать ограниченность оператора

[Rzer]

Пусть $X,Y$ - банаховы пространства.
$A: X \to Y$ , $A$ - линейный оператор. $D(A)=X$ .
Доказать,что если $\forall \varphi \in Y^* : \varphi \circ A \in X^*$ , то $A$ ограниченный оператор.
Я понимаю,что нужно использовать теорему Хана-Банаха, но не знаю как.

[Oleg Zubelevich]

Докажите сперва, что подмножество нормированного пространства ограничено iff оно слабо ограничено. Это утверждение полезно само по себе. А задача сразу следует из него. Банаховость не нужна.

[Rzer]

Oleg Zubelevich в сообщении #704796 писал(а):

Докажите сперва, что подмножество нормированного пространства ограничено iff оно слабо ограничено. Это утверждение полезно само по себе. А задача сразу следует из него. Банаховость не нужна.

Прошу прощения,я плохо владею топологией,поэтому все же хотелось обойтись без нее.
Я знаю,что есть теорема Банаха-Алаоглу,которая(в ее варианте для гильбертовых пространств) говорит,что множество ограниченно iff для любой последовательности из этого множства существует слабо сходящаяся подпоследовательность.
Насколько я понимаю,для банаховых пространств данный факт неверен?