Диф.уры

[ton007]

Решал задачку по вариац.исчислению, дошел до диф.ура:
3(x`)^2=10x
И всё, торможу...

[Brukvalub]

А уравнение-то автономное!

[ton007]

То есть..

[Gordmit]

То есть в него не входит независимая переменная.
Впрочем, если извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, можно легко разделить переменные, после чего оно сразу интегрируется.

[ton007]

Пасибо большое ...

[ton007]

А вот общее решение уравнения x````+4=0 как найти? Если когда решаешь, получается под корнем -2i, и 2i, то как общее решение записать?

[RIP]

ton007 писал(а):

А вот общее решение уравнения x````+4=0 как найти? Если когда решаешь, получается под корнем -2i, и 2i, то как общее решение записать?

Паре (простых) сопряжённых корней характеристического уравнения $a\pm bi$ ($b\ne0$) соответствует пара линейно независимых решений $e^{at}\cos bt$ и $e^{at}\sin bt$. Просто досчитайте $\sqrt{\pm2i}$ до конца.

[RIP]

Кстати, не обратил внимание на уравнение. Там всё-таки $x^{(4)}+4=0$ или $x^{(4)}+4x=0$? Это две большие разницы, знаете ли. Я писал про второй случай (меня сбил с толку Ваш вопрос про $\sqrt{\pm2i}$).

[ton007]

Там как раз первый случай
x````+4=0
Я наверное ошибся где-то при решении, но никак не пойму ГДЕ?

[ИСН]

Тогда какие вообще i, какие корни? Берёте четыре раза интеграл - и дело в шляпе!
$x=-{1\over 6}t^4+C_1t^3+C_2t^2+C_3t+C_4$

[ton007]

Спасибо всем

[ton007]

А вот и появилось уравнение х````+4x=0.
Тут 4 корня: +-корень из -2i и +-корень из 2i. А как общее решение записать? (теорию знаю, а как на практике записать не получается)...

[Brukvalub]

ton007 писал(а):

А вот и появилось уравнение х````+4x=0.
Тут 4 корня: +-корень из -2i и +-корень из 2i. А как общее решение записать? (теорию знаю, а как на практике записать не получается)...

Ответ:

\[ x(t) = C_1 e^t \cos (t) + C_2 e^t \sin (t) + C_3 e^{ - t} \cos (t) + C_4 e^{ - t} \sin (t) \]

[ton007]

Объясните дураку, тогда каким образом в этом ответе учитываются 2i

[Gordmit]

Найдите корни из $\pm 2i$, и увидите.
Как находить корни из комплексного числа: если $z=Re^{i\varphi}$, то квадратные корни из z (2 шт) равны $\sqrt{R}e^{i\frac{\varphi}{2}}$ и $-\sqrt{R}e^{i\frac{\varphi}{2}}$.