Вопрос по линейной алгебре

[MAnt]

Пусть линейное пространство $V_n$ является прямой суммой подпространств $W_1$ и $W_2$. Кроме того, пусть на каждом из подпространств задан линейный оператор: $f_1 : W_1 \to W_1$,$f_2 : W_2 \to W_2$. Опредедим отображение $f:V_n \to V_n$ следующим образом: $\forall \overrightarrow{x} = \overrightarrow{x_1} + \overrightarrow{x_2}$, $ \overrightarrow{x_1} \in W_1 $, $ \overrightarrow{x_2} \in W_2 $ положим $ f(\overrightarrow{x}) = f_1(\overrightarrow{x_1}) + f_2(\overrightarrow{x_2}) $. Докажите линейность отображения $f$ и опишите его матрицу в базисе, полученном объединением базисов подпространств $W_1$ и $W_2$

Линейность я доказал, а с описанием матрицы возникла проблема. Правильным действием будет записать $ f(\overrightarrow{x}) = f_1(\overrightarrow{x_1}) + f_2(\overrightarrow{x_2}) $ в матричном виде и найти оттуда матрицу отображения $f$?

[AGu]

В задании просят не найти, а описать матрицу -- намекая на тот факт, что она должна иметь некий особый вид.

Ситуацию можно прочувствовать на простом примере -- когда подпространства $W_1$ и $W_2$ одномерные. В этом случае оператор $f$ будет задаваться матрицей размера $2\times 2$, и ее наверняка будет просто описать.

Разобравшись в простом случае, можно будет попробовать проинтуичить общий случай (а проинтуичив -- обосновать).

Если же общий случай сразу не проинтуичится -- можно пощупать случай, когда $W_1$ одномерно, а $W_2$ двухмерно, и описать соответствующую матрицу $3\times 3$.

[MAnt]

Проинтуичил, вроде так:
$(\begin{array}{cc} \text{Базис} $W_1$ & \text{нули} \\ \text{нули} & $Базис W_2$ \end{array})$
Как можно это нормальным языком описать?

[AGu]

MAnt в сообщении #704454 писал(а):

Проинтуичил

Проинтуичили правильно, но описали паршиво.
Разве там в матрице будут сидеть базисы? Там будут сидеть матрицы $f_1$ и $f_2$. А в остальном -- нормально.
(Только обосновать ответ все же надо -- а то вдруг спросят? )

[iifat]

И называется такая матрица -- блочной. Есть и более специальное название, Жорданова, что ли, но навскидку не помню.

[AV_77]

Блочно-диагональная.