Метод Лагранжа

[malvinkavika]

Методом Лагранжа найти условный экстремум :
$f(x)=2x_1+x_2-2x_3$ при условии $g(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-36$
Решение :
1) $g'(x)=(2x_1,2x_2,2x_3), L(x,y)=2x_1+x_2-2x_3+yx_1^2+yx_2^2+yx_3^2-36y$
2)$L'_{x_1}^=2+2yx_1=0$
$L'_{x_2}^=1+2yx_2=0$
$L'_{x_3}^=-2+2yx_3=0$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=36$
3) $x_1=-\frac1y, x_2=-\frac1{2y}, x_3=\frac1y$
$y_1=\frac14, y_2=-\frac14$
4) $x_1^*=(-4,-2,4), x_2^*=(4,2,-4)$
5) Сначала возьмем точку $x_1^*$
$d^2L(x_1^*,y_1)=\frac12({dx_1})^2+\frac12({dx_2})^2+\frac12({dx_3})^2$
$dg(x_1^*)=-8dx_1-4dx_2+8dx_3=0$
$dx_2=2dx_3-2dx_1$
$d^2L(x_1^*,y_1)=\frac52dx_1^2+\frac52dx_3^2-4dx_1dx_3=(\sqrt{\frac52}dx_1-\sqrt{\frac52}dx_3)^2+dx_1dx_3$
Как определить будет положительный или отрицательный второй дифференциал?

[SpBTimes]

Подождите, у вас же $d^2L$ сразу получилась положительно определенной

[iifat]

malvinkavika в сообщении #704176 писал(а):

$(\sqrt{\frac52}dx_1-\sqrt{\frac52}dx_3)^2+dx_1dx_3$

Как понимаю, $(\sqrt{\frac52}dx_1-2\sqrt{\frac25}dx_3)^2+\frac9{10}dx_3^2$. Фокус не в собирании квадратов, а в том, чтобы убрать $dx_1dx_2$

[мат-ламер]

malvinkavika в сообщении #704176 писал(а):

Как определить будет положительный или отрицательный второй дифференциал?

По критерию Сильвестра.

[malvinkavika]

а какой критерий Сильвестра можете напомнить?

[мат-ламер]

malvinkavika в сообщении #704501 писал(а):

а какой критерий Сильвестра можете напомнить?

Критерий положительной определённости матрицы. Там знаки определителей рассматриваются.

[malvinkavika]

Подскажите пожалуйста по какой матрице нужно смотреть миноры.

[мат-ламер]

malvinkavika в сообщении #704542 писал(а):

Подскажите пожалуйста по какой матрице нужно смотреть миноры.

Второй дифференциал - это типа квадратичная форма. Надо смотреть матрицу этой формы. Если это всё прочно забыто, то попробуйте доказать положительность дифференциала элементарными методами.

[malvinkavika]

$\left( \begin{array}{ccc} \frac52 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac52 \end{array} \right)$
вот я составила матрицу
напишите, если не правильно - я исправлю

-- Пн апр 01, 2013 21:56:05 --

$A_1>0$
$A_2=0$
$A_3=0$

[мат-ламер]

SpBTimes в сообщении #704197 писал(а):

Подождите, у вас же $d^2L$ сразу получилась положительно определенной

Я не обратил внимание. У Вас Лаганжиан на всём пространстве полодительно опрежелённый. Следовательно, он таким будет и на всём пространстве. А матрицу не понятно откуда Вы взяли.

[malvinkavika]

спасибо
поняла

[malvinkavika]

Как понимаю, $(\sqrt{\frac52}dx_1-2\sqrt{\frac25}dx_3)^2+\frac9{10}dx_3^2$. Фокус не в собирании квадратов, а в том, чтобы убрать $dx_1dx_2$
там не правильно собрали квадраты
$\frac52(dx_1)^2-4dx_1dx_3+\frac52(dx_3)^2=(\sqrt{\frac52}dx_1-2\sqrt{\frac52}dx_3)^2-\frac{19}{10}dx_3$

-- Ср апр 03, 2013 00:24:26 --

тогда уже непонятно будет положительный ли второй дифференциал или нет(((

[bot]

malvinkavika в сообщении #705036 писал(а):

тогда уже непонятно будет положительный ли второй дифференциал или нет

Почему непонятно? Вам уже сказали, что сумма квадратов всегда неоторицательна. А когда она равна нулю?

[malvinkavika]

но у меня нет суммы квадратов

[bot]

Сумма есть? Если да, то что складываются, треугольники?