Расстановка книг

[Someone]

Shtorm в сообщении #704154 писал(а):

Однако, если мы отвергнем мысленное деление на ячейки, то тем самым предполагается, что необходимо будет учитывать "каждый миллиметр" пространства полки - и на этом каждом миллиметре может располагаться сдвинутая книга, занимая все возможные положения. Обычно в задачках комбинаторики так не делается.

Скорее всего (и обычно) имеется в виду не конкретное место на полке "в миллиметрах", а порядок расстановки книг на полке: первая слева, вторая, третья и т.д.. А если говорить о ячейках, то должно быть указано их число на каждой полке. Ниоткуда не следует, что это число равно числу книг.

[Shtorm]

Someone в сообщении #704160 писал(а):

А если говорить о ячейках, то должно быть указано их число на каждой полке. Ниоткуда не следует, что это число равно числу книг.

Согласен. Но, если, например, в задачнике по комбинаторике написана задача: "Сколькими способами на книжной полке можно расставить 12 книг", то мы даём ответ $12 !$ Тем самым предполагается, что на полке ровно 12 мест (ячеек) для этих книг. Можно конечно сказать, что на самом деле полка может быть и длинней, и при нахождении количества положений просто не учитываем пустые места между книгами, а лишь положение книг друг относительно друга. Ну, тогда и в задаче с 3-мя полками так можно. Единственно, что необходимо учесть, что длина каждой из трёх полок такова, что позволяет уместить все 12 книг. Хотя это тоже не оговорено в условии. Но такая оговорка позволяет уже законно применять формулу размещений (даже мысленно не деля на ячейки).

[Someone]

Shtorm в сообщении #704162 писал(а):

Можно конечно сказать, что на самом деле полка может быть и длинней, и при нахождении количества положений просто не учитываем пустые места между книгами, а лишь положение книг друг относительно друга.

Вот именно, учитываем только последовательность книг на полке, не выдумывая никаких ячеек.

Shtorm в сообщении #704162 писал(а):

Ну, тогда и в задаче с 3-мя полками так можно. Единственно, что необходимо учесть, что длина каждой из трёх полок такова, что позволяет уместить все 12 книг.

Да.

Shtorm в сообщении #704162 писал(а):

Хотя это тоже не оговорено в условии. Но такая оговорка позволяет уже законно применять формулу размещений (даже мысленно не деля на ячейки).

Нет. Если книг две, полок три, то "ячеек" получится шесть. Размещений из шести по два - тридцать. Способов расставить две книги на трёх полках, учитывая только порядок - двенадцать (их легко все перечислить).

Учитывайте также то, что не всякая книга будет стоять на полке, ни на что не опираясь. Предположим, что мы ставим книги на полку, начиная с левой стенки, чтобы первая книга опиралась на эту стенку, вторая - на первую и так далее. Я обычно так делаю.

[Shtorm]

Someone в сообщении #704165 писал(а):

Способов расставить две книги на трёх полках, учитывая только порядок - двенадцать (их легко все перечислить).

Сейчас вот нарисовал 12 шкафов (этажерки), в каждой этажерке 3 полки. 3 полки разделены вертикальной стенкой посередине. Итого получаем 6 ячеек в каждой этажерке. Взял две книги, обозначил их цифрами 1 и 2 и стал вырисовывать все возможные положения. И вышло, что 12 этажерок не хватило, чтобы уместить все возможные положения.

[Shtorm]

И вот лёг спать, закрыл глаза и мысленно посчитал все варианты с этими этажерками - и вышло, что их как раз должно быть 30 штук.

(Оффтоп)

и это не первоапрельская шутка

Так что ещё раз наглядно доказали правильность метода с формулой размещения.

[cyber_ua]

Shtorm,тут скорей нужно использовать сполуки (не знаю как перевести на русский), так как порядок у нас роли не играет, вроде иправильно (для маленьких чисел), а когда посчитал для 3х полок по 12 книг...
$C_{36}^{12} = 36! / 24! \cdot 12!$

[Shtorm]

cyber_ua, категорически не согласен, что порядок не играет роли. Во всех задачах с расстановкой книг на полках - порядок всегда играет роль. Одна возможность: Пушкин слева, а Лермонтов справа, другая возможность: Лермонтов слева, а Пушкин справа.
Поэтому нужно использовать именно формулу размещения $A_{36}^{12}$, а вовсе не формулу сочетаний $C_{36}^{12}$

[cyber_ua]

Shtorm, все равно число получаеться, очень большое 599555620984320000 (я даже не могу его выговорить).

[Shtorm]

cyber_ua, да, число большое получается. Ну и что? Разве величина числа служила когда-нибудь критерием неправильности ответа само по-себе? Обычно в таких случаях ответ оставляют в виде формулы размещения с индексами.$ A_{36}^{12}$
А на 6-ти полках - ещё больше возможностей.

[EtCetera]

Shtorm

Shtorm в сообщении #704332 писал(а):

Поэтому нужно использовать именно формулу размещения $A_{36}^{12}$

Shtorm в сообщении #704356 писал(а):

Обычно в таких случаях ответ оставляют в виде формулы размещения с индексами.$ A_{36}^{12}$

Но ведь в данном случае нельзя применять эту формулу! О чем Вам уже пытались сообщить...

[Shtorm]

EtCetera, аргументы в студию.

[EtCetera]

Shtorm
Вот 12 способов расставить 2 книги на 3-х полках:
$\begin{array}{|cc|} \hline 1 & 2 \\ \hline & \\ \hline & \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|cc|} \hline 2 & 1 \\ \hline & \\ \hline & \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|cc|} \hline & \\ \hline 1 & 2 \\ \hline & \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|cc|} \hline & \\ \hline 2 & 1 \\ \hline & \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|cc|} \hline & \\ \hline & \\ \hline 1 & 2 \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|cc|} \hline & \\ \hline & \\ \hline 2 & 1 \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|} \hline 1 \\ \hline 2 \\ \hline \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline 1 \\ \hline \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|} \hline 1 \\ \hline \\ \hline 2 \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|} \hline 2 \\ \hline \\ \hline 1 \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|} \hline \\ \hline 1 \\ \hline 2 \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|} \hline \\ \hline 2 \\ \hline 1 \\ \hline \end{array}$
Где остальные $30-12=18$?

[Shtorm]

EtCetera, а где у Вас "1" в левом верхнем углу, а "2" в правом нижнем? А наоборот? А где ещё другие диагональные расположения?

-- Пн апр 01, 2013 17:30:08 --

А "1" прямо на первой полке и под ней "2" на самой нижней - Вы учли только расположение либо в левых ячейках, либо в правых, а надо и в левых, и в правых.

[EtCetera]

Shtorm
В условии ни про какие ячейки не сказано. Да и на обычных книжных полках их тоже чаще всего нет.

[Shtorm]

EtCetera, вот только полок всего три, а книг-то 12. Представим ситуацию, что одна книга находится на верхней полке, а остальные 11 книг на второй. Мы что же не должны учитывать ситуацию, что в одном случае 5 книг прижаты к левому краю, а 6 книг прижаты к правому краю, а в другом - 6 книг прижаты к левому краю, а 5 к правому?