Нормальное распределение

[Limit79]

Есть $X \sim N(2;1)$, необходимо найти такое $a$, что $P(|X| \leqslant a) = 0.95$.

Пробую по стандартной формуле: $P(|X| \leqslant a) = P(-a \leqslant X \leqslant a) = F(a-2) - F(-a-2)$

То есть: $F(a-2) - F(-a-2) = 0.95$
А это уравнение решить не могу... пробовал какими-то другими способами - не получается. Вот если бы мат. ожидание было бы равно нулю, то вероятности $P( X \geqslant a)$ и $P( X \leqslant -a)$ были бы одинаковы, и тогда все легко решается, а вот в этом случае не знаю как быть. Помогите, пожалуйста.

p.s. $F$ - функция Лапласа.

[Limit79]

UPD: пересмотрел много учебников, нигде подобной задачи не нашел. Единственная мысль - тут опечатка, и имелось ввиду отклонение от мат. ожидания, то есть $p( |\xi - M_{\xi}| \leqslant a) = 0.95$, при таком условии задача легко решается.

Для исходной задачи нашел ответ с помощью маткада:

(Оффтоп)

Маткад, видимо, решает как-то численно.

[--mS--]

Какого совета Вы хотите от нас? Всё правильно Вы понимаете, всё верно написано.

[Limit79]

--mS--
Я думал, может я чего-то не так делаю... то есть данная задача решается только с помощью данного уравнения, которое решается только численно, следовательно исходная задача аналитически не решается?

[--mS--]

Разумеется. Ну еще подбор по таблице возможен Встречается такая ерунда часто по недосмотру составителей. А может, тут заложен умысел с дальним прицелом. В конце концов заставить задуматься - вполне себе неплохая цель

[Александрович]

Limit79 в сообщении #703756 писал(а):

Единственная мысль - тут опечатка, и имелось ввиду отклонение от мат. ожидания,

Если не опечатка, то $a\approx 3.645$

[Null]

Ну подбор по таблице двоичным поиском нормальная задача для университета.

[Limit79]

--mS--
Спасибо, значит так и напишем.

Александрович
Это я тоже посчитал.

Null
В этой задаче не должно быть таких сложностей.

[Евгений Машеров]

Задача решается численно, лучше всего методом Ньютона, благо знаменатель выражения $x_{n+1}=x_n-\frac {F(x_n)}{F'(x_n)}$, производная от функции в левой части уравнения $F(x)=0$, легко выражается через табличные значения плотности распределения.
Постановка задачи в таком виде может и не быть опечаткой, возможна реальная задача, приводящая к такому условию.

[Limit79]

Евгений Машеров
Давайте примем как данное тот факт, что задача решается только в рамках курса теории вероятности, без численных методов. А так да, у меня была такая мысль: либо численно, либо подбором. Я все таки сделал подбором, ибо там можно дать некую аргументацию, а не просто в лоб подбором.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

У прикладных задач есть дурная привычка - они категорически отказываются решаться простым и приятным способом. И численные методы это не пришелец из другого учебного курса, которого можно попросить выйти вон, а рабочий инструмент.
Если это чисто учебная задача, и преподаватель желает не перетрудить Вас - то, вероятно, можно ожидать простого решения, а если его нет - требовать исправления опечатки. Но даже в учебных бывают сложности и отсылки к использованию даденого ранее в иных курсах материала.

[Limit79]

(Оффтоп)

Это задание, а точнее говоря подпункт задания, из работы по теории вероятностей, в этой работе, наряду с этим заданием идут элементарные задания, которые решаются в рамках ТВ, поэтому в данном случае численные методы не нужны. А насчет прикладных задач - разумеется.

[Евгений Машеров]

Не уверен, что всегда можно судить о сложности одних заданий по приведенным рядом с ними. Зачастую составитель умышленно помещает задания сильно различного уровня сложности ("на троечку" - на знание основных определений и применение простейших правил, "на четвёрку" - на умение решать более сложные, хоть и стандартные задачи, "на отлично" - для приложения самостоятельного мышления, и не всегда последний класс как-то особо обозначается, например, звёздочкой).

[ИСН]

Гораздо чаще, увы, такая ситуация, когда задач для приложения самостоятельного мышления - нет и не предвидится.

[Евгений Машеров]

Ну, во всяком случае быть уверенным, что уровень всех задач одинаков, нельзя.

-- 01 апр 2013, 13:25 --

Аналитического решения этой задачи, полагаю, не существует. Собственно, для случая нулевого матожидания его тоже нет, но поскольку кто-то эту задачу уже решил численно, построив таблицу функций, обратных к $\Phi(x)$, то можно просто обратиться к таблице. А для данного случая надо делать самому с нуля.