Различные простые делители

[Ktina]

Пусть $\xi$ --количество различных простых делителей натурального числа $n$.
Доказать, что для бесконечно многих $n$ число

$$\xi (n)+\xi (n+1)+\dots +\xi (n+999)$$

нечётно.

[ИСН]

Сдаётся мне, что оно и чётно для бесконечно многих. Вместе эти утверждения означают, что оно бесконечно много раз меняет чётность туда-сюда. То есть что б.м. раз $\xi(n)$ и $\xi(n+1000)$ имеют разную чётность. Ограничимся теми n, которые сами делятся на 1000 - я думаю, этого хватит. В этих терминах гипотеза звучит так: б.м. раз $\xi(k)$ и $\xi(k+1)$ либо имеют одинаковую чётность, причём оба числа не делятся на 5, либо - разную и кто-то из них делится. Теперь как звучит её отрицание? Как будто, начиная откуда-то, $\xi$ тупо всегда меняет чётность между соседними числами, если ни одно из них не делится на 5, и нет, если да. То есть там ксю кси от чисел с окончаниями 1, 3, 7 и 9 имеет одну чётность, а от всех остальных - другую. Но.

[Ktina]

ИСН,
Это можно капельку проще решить, сейчас напишу.

-- 31.03.2013, 01:22 --

Прежде всего, Вы верно подметили, что оно и чётно для бесконечно многих, и нечётно для бесконечно многих.

Как и Вы, я доказывала от противного. Если оно нечётно для конечного количества чисел $n$, то при достаточно больших $n$ числа $n$ и $n+1000$ должны иметь одинаковую чётность $\xi$. И Вы это тоже верно подметили.

А теперь самый главный момент. Все достаточно большие факториалы кратны 1000.
А это означает, что у всех достаточно больших факториалов одинаковая чётность $\xi$ была бы.

Продолжать?

[ИСН]

Юхууууу!

[Ktina]

На всякий пожарный, продолжу. Наш форум и школьники читают.
Поскольку простых чисел бесконечно много, возьмём достаточно большое простое $p$.
Раз уж мы его взяли, $p!$ и $(p-1)!$ должны были бы по идее иметь одинаковую чётность ксю. Но они не хотят этого делать!