Интеграл: ошибка в задачнике?

[Bach]

Интеграл из задачника МГУ:

$$\int {\frac{x^2}{(a^2 - x^2)^{\frac{3}{2}}}dx} $$

У меня получается

$$ \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \arctg{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x}} $$

В ответе в задачнике дано

$$ \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} - \arcsin{\frac{x}{a}} $$

Проверил дифференцированием. Вроде бы мой ответ правильный. Кроме того, производные от арктангенса и от арксинуса не совпадают. Действительно ли в задачнике ошибка?
Заранее спасибо.

[bot]

Bach в сообщении #703333 писал(а):

Кроме того, производные от арктангенса и от арксинуса не совпадают

А они и не должны совпадать - знаки разные. Проверьте своё дифференцирование ещё раз.

[Алексей К.]

Bach в сообщении #703333 писал(а):

Проверил дифференцированием. Вроде бы мой ответ правильный.

Оба ответа правильные (если закрыть глаза на отсутствие ${}+C$). Только второй попроще выглядит. Стало быть, имеет некий приоритет. Ту хрень с арктангенсом надо поупрощать попытаться. И намотать этот фокус на ус.

[Shtorm]

Вот здесь даны готовые формулы:

$$\arcsin x= \arctg{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}$$

Соответственно:

$$\arcsin x= \arcctg{\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}}=\frac {\pi}{2} - \arctg{\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}}$$

Ну и понятно, что $\frac {\pi}{2}$ уходит внутрь произвольной константы интегрирования $C$. Так что важно не забывать её ставить.

[bot]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #703360 писал(а):

И намотать этот фокус на ус

Чёт никак не соображу - а как? Вот ус на фокус - легко.

[Bach]

Всем огромное спасибо за ответы!

Цитата:

Вот здесь даны готовые формулы:

Большое спасибо за формулы. Надо будет поупражняться на досуге - с тригонометрией у меня, к сожалению, не очень хорошо.

Цитата:

И намотать этот фокус на ус.

Очень полезная привычка, но никак ее не выработаю. Терпеливость мешает... На одни и те же грабли по десять раз наступаю, пока терпение не кончится ...