Функция с несчётным числом периодов

[Human]

Вопрос из родственного форума, но там никто на него не отвечает, а вопрос интересный (по крайней мере для меня).

Пусть множество периодов функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ несчётно. Верно ли, что функция есть тождественная константа?

Кое-какую надежду на решение давал базис Гамеля в $\mathbb{R}$ над полем $\mathbb{Q}$, но я так ничего полезного не смог из этой идеи вытащить. Про сам базис и то только вчера узнал.

Задачка не учебная, просто интересен ответ и решение.

[g______d]

http://mathoverflow.net/questions/27352 ... al-numbers

Вот здесь дается ответ на следующий вопрос: существует ли несчетное поле $\mathbb F$, такое что
$\mathbb Q\subset \mathbb F\subset \mathbb R$ (включения строгие)? Ответ, видимо, "да", но я не проверял доказательства в деталях (там их несколько).

Ну а потом рассматриваем базис Гамеля не над $\mathbb Q$, а над $\mathbb F$, и всё получается.

-- 29.03.2013, 19:01 --

Ну да, в качестве $\mathbb F$ можно взять максимальное подполе в $\mathbb R$, не содержащее $\pi$. Так или иначе, это не кажется сложным утверждением.