Лебегова мера кругов.

[nikvic]

Доказать, что пересечение суммы произвольного множества кругов и квадрата измеримо по Лебегу.

[Oleg Zubelevich]

подозреваю, что есть какая-то общая теорема типа: всякое выпуклое множество измеримо по Лебегу

-- Пт мар 29, 2013 12:22:06 --

ха-ха так и есть, результат из книжки Богачева Measure theory

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #702954 писал(а):

всякое выпуклое множество измеримо по Лебегу

Это - тривиальность.
В задачке - объединение выпуклых множеств.

[Oleg Zubelevich]

nikvic в сообщении #702901 писал(а):

Доказать, что пересечение

nikvic в сообщении #702957 писал(а):

В задачке - объединение

[nikvic]

Имеется некоторое множество кругов, затем - их объединение, меряем то, что попало на квадрат.

[Oleg Zubelevich]

понял

[TOTAL]

Квадрат здесь при чем? Чтобы круги друг от друга сколь угодно далеко не уходили?

[nikvic]

TOTAL в сообщении #702976 писал(а):

Квадрат здесь при чем?

Чтобы не уехать в бесконечность. В вариантах определения вся плоскость может быть как измеримой, так и неизмеримой.
Можно было исходно говорить о кругах внутри большого - это, наверное, красивее...

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Ограниченное множество $M\subseteq \mathbb{R}^m$ измеримо по Лебегу iff для любого $\sigma>0$ существует открытое множество $C$ и компакт $K$ такие, что $K\subseteq M\subseteq C,\quad \mu(C\backslash K)<\sigma$

А дальше берем немного уменьшаем радиусы кругов и зымыкаем объединение кругов меньшего радиуса--получится компакт $K$. Потом берем открытые круги чуть больших радиусов чем данные и объединяем --получится множество $C$.

Это , конечно, еще не доказательство ,но смысл в этом

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #702982 писал(а):

берем немного уменьшаем радиусы кругов и зымыкаем то, что получилось

А как - если все 2-рациональные точки суть центры некоторых кругов?

-- Пт мар 29, 2013 15:17:22 --

Стндартное построение - последовательность всех рациональных точек, вокруг каждой - свой круг, радиусы убывают по экспоненте.
Как уменьшать-замыкать будем?

[mihailm]

nikvic в сообщении #702901 писал(а):

Доказать, что пересечение суммы произвольного множества кругов и квадрата измеримо по Лебегу.

Не очень понятно
Счетное объединение измеримых множеств измеримо
Значит речь идет о несчетном
Если точка круг, то утверждение неверно

[nikvic]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #702993 писал(а):

Если точка - круг, то утверждение неверно

Зато оно верно, если круг - квадрат

[Oleg Zubelevich]

затер

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #703038 писал(а):

Множество $\overline{\bigcup_sB'_s(r_s)}$ -- компактно ...

и в случае, когда содержит все рациональные точки, совпадает со всей плоскостью

[Oleg Zubelevich]

http://mathoverflow.net/questions/43721 ... measurable
нетривиально