Ориентация поверхности

[myjobisgop]

Всем доброй ночи. Возникли трудности при доказательстве двух утверждений. Суть их такова:

Пусть в пространстве $\mathbb{R}^3$ задана двумерная регулярная поверхность $M$, в виде отображения $r: \omega \to \mathbb{R}^3\ ,\ r(u_1, u_2)\ =\ x_i(u_1, u_2)\ i=1,2$, причем отображения - биекция.


Рассмотрим на поверхности набор криволинейных симплексов $M_1 ,...., M_n$, каждый из которых пересекается по одномерной грани с последующим и с предыдущим, причем $M_1$ пересекается с $M_n$. Зададим ориентацию на первом симплексе $M_1$; Правило согласования однозначно определяет ориентацию на симплексе $M_2$, от него - на $M_3$ и далее по цепочке до $M_n$, а от него снова на $M_1$. Таким образом, на первом симплексе возникнет две ориентации. Будем говорить, что цепочка симплексов сохраняет ориентацию, если эти две ориентации совпадают, и обращает ориентацию, если они противоположны.

Утв.1: На поверхности существует обращающая ориентация <=> Поверхность неориентируема.
Утв.2: Пусть $\gamma$ - произвольная замкнутая кривая на поверхности. Если в каждой точке этой кривой существует единичный вектор нормали к поверхности и при непрерывном переносе вектора нормали вдоль этой кривой он переходит в себя, то поверхность ориентируема.

Довольно очевидно что из обращающей ориентации следует неориентируемость поверхности.

Теперь что касается обратного следствия утв 1. Я пробовал доказать так: Рассмотрим прообраз поверхности, т.е область $\omega$. Построим в ней набор плоских симплексов аналогичный из определения сохранения/обращения ориентации. Получим разбиение области $\omega$. На каждом участке разбиения зададим ориентацию. В силу неориентированности поверхности - найдутся участки разбиения с гранью, на которой направления ориентации будут совпадать.
Однако мне не совсем понятно как доказать что эти участки окажутся в наборе симплексов? И причем в этом наборе такой случай должен быть единственным.

Второе утверждение я попробовал доказать вот так: Рассмотрим прообраз кривой $\gamma$ в области $\omega$. Покроем этот прообраз теми самыми симплексами. Теперь рассмотрим образы этих симплексов. Зададим ориентацию на образе симплекса согласованную с винтовым вращением по направлению вектора нормали. Отстутствие обращающих ориентацию замкнутых цепочек определяется вектором нормали вдоль кривой. Но мне почему-то кажется, что я где-то наврал.

В общем хотелось бы услышать ваши предложения и замечания.

[alcoholist]

myjobisgop в сообщении #702421 писал(а):

в виде отображения $r: \omega \to \mathbb{R}^3\ ,\ r(u_1, u_2)\ =\ x_i(u_1, u_2)\ i=1,2$, причем отображения - биекция.

$i=1,2,3$... инъекция