Корни многочлена

[Edward_Tur]

Доказать, что восемь корней уравнения $x^{10}+x^9+x^7-x^3-x-1=0 $ лежат на единичной окружности.

[Руст]

Поделим вначале на $x^5y,$ и получим, что $x-x^{-1}$ корень, т.е. два корня $x=\pm 1$.
Далее обозначим $z=x+x^{-1}$ и запишем уравнение для оставшихся корней в виде:

$$f(z)=z^4+z^3-3z^2-z+1=0.$$

$f(0)=1, f(\pm 1)=-1, f(2)=11, f(-2)=-1.$.
Это значит три действительных корня $z$ по модулю не превосходят 2, и им соответствует 6 корней на единичной прямой
$x=e^{\pm i\alpha}$, где $2\cos \alpha=z_i$, $z_i$ действительные корни не превосходящие по модулю 2.