Интеграл: подстановка Вейерштрасса или

[Limit79]

\int \frac{\cos(x) dx}{\sin(x)+\cos(x)}

Подскажите, пожалуйста, тут необходимо использовать подстановку Вейерштрасса, или можно как-то проще?

[Shtorm]

Limit79, проще нельзя.

[nnosipov]

Limit79 в сообщении #701777 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, тут необходимо использовать подстановку Вейерштрасса, или можно как-то проще?

Сделайте замену $x=t+\pi/4$.

[gris]

А зачем тут подстановка?
Чему равна производная знаменателя

[Shtorm]

nnosipov в сообщении #701785 писал(а):

Сделайте замену $x=t+\pi/4$.

Точняк, век живи, век учись.

[Limit79]

Получилось проще вот так:

\int \frac{\cos(x) dx}{\sin(x)+\cos(x)} = \int \frac{dx}{\tg(x)+1} = \int \frac{\cos^2(x) dx}{\cos^2(x) \cdot (\tg(x)+1)}= \int \frac{d(\tg(x))}{(\tg^2(x)+1) \cdot (\tg(x)+1)}

-- 26.03.2013, 22:14 --

nnosipov
О, еще проще, спасибо!

gris
$\cos(x)-\sin(x)$, и потом это все в синус?

[Shtorm]

Limit79, и дальше придётся интегрировать дроби с поиском коэффициентов и всего присущего, а подстановка предложенная nnosipov значительно всё упрощает.

[Limit79]

Shtorm
Разумеется. Я не спорю, вариант nnosipov - самый простой, но мой вариант проще, чем через универсальную тригонометрическую подстановку.

[gris]

$$\int \dfrac{\cos x \,dx}{\sin x +\cos x }=\dfrac12\int \dfrac{\cos x +\sin x +\cos x - \sin x}{\sin x +\cos x }\,dx=\dfrac12\int 1+ \dfrac{( \sin x + \cos x)'}{\sin x +\cos x }\,dx$$

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #701801 писал(а):

Shtorm
Разумеется. Я не спорю, вариант nnosipov - самый простой, но мой вариант проще, чем через универсальную тригонометрическую подстановку.

Ваш тот вариант - это универсальная тригонометрическая подстановка № 2: $t=\tg x$

[Limit79]

gris
Красивый вариант, спасибо!

Shtorm
Ну да, получается, что так...

[bot]

Limit79 в сообщении #701794 писал(а):

Получилось проще вот так

Это хрестоматийно - если рационально-тригонометрическое выражение не меняется от одновременной смены знака синуса и косинуса, то вместо стандартной подстановки через половинный аргумент рекомендуется на выбор $t=\tg x$ или $t=\ctg x$.