Уравнение в целых числах

[Ktina]

Решить в целых числах уравнение

$$mn^2=m+10^4n$$

[nnosipov]

По-моему, в оригинале было $10^5$.

[Ktina]

nnosipov,
Даже если и так, что из этого?
Перевод не считается плагиатом.

-- 25.03.2013, 22:59 --

(Оффтоп)

А на что Вы обиделись?
Ну перевела я с английского известную задачу, что ж в этом плохого?

[Батороев]

Ktina в сообщении #701398 писал(а):

Решить в целых числах уравнение

$$mn^2=m+10^4n$$

$$m=\dfrac {10^4n}{n^2-1}$$

Ввиду взаимной простоты $n,n+1,n-1$ имеем целое число $k=\dfrac{10^4}{n^2-1}$.

Т.к. и число $ n^2-1=\dfrac {10^4}{k}$ - целое, то $k$ может иметь множители только в виде степеней $2,5$.

Таким образом, имеем уравнение

$$n^2-1=2^r\cdot 5^s$$

где $s,r\leq 4$.

По левой части уравнения видно, что правую часть можно разложить на множители, разность между которыми равна $2$, по самой правой части - что такое разложение возможно только при $r=4;s=1$ (т.е. $2\cdot5-2^3= (-2)^3-(-2\cdot 5)=2$). Откуда $n=9$.

[Shadow]

Батороев в сообщении #701472 писал(а):

по самой правой части - что такое разложение возможно только при $r=4;s=1$

Не только.

[nnosipov]

Вот, возможно, оригинал http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=109159
А, может, и не оригинал. В любом случае я был не прав. Другое дело, что эта задачка встречается в книжках и с коэффициентом $10^5$, но это ЕГЭшные сборники задач последних лет. На методе решения это никак не отражается, но ответ добывается чуть большим трудом.

[Батороев]

Shadow в сообщении #701479 писал(а):

Не только.

Точно! Слона то я и не приметил!

-- 26 мар 2013 14:25 --

Оказывается и "слон" то не единственный!

[Shadow]

Батороев в сообщении #701488 писал(а):

Оказывается и "слон" то не единственный!

Как не единственный? Тоест, Ваше решение и еще $n=3$ Даже при произвольной степени десятки получается $5^x=2^y\pm 1$
Решения $(0,1);(1,2)$

[Батороев]

Shadow в сообщении #701509 писал(а):

Как не единственный? Тоест, Ваше решение и еще $n=3$

Есть еще "Большой слон": $n=0; m=0$ (сам в жисть не нашел бы, но обнаружил в ссылке, которую предоставил nnosipov).

p.s. Кроме того, в задаче рассматриваются целые числа, а не только натуральные.