И все они простые!?

[Ktina]

Даны числа

$$p,\quad q,\quad p+q,\quad p+q^n,\quad p+q^n+q$$

И все они простые!

При каких $n\in\mathbb N$ такое может случиться?

[Руст]

Легко показать, что $q=2,p=3$, $n-$ нечетное и даже при $n>1$ должно быть $n=3\mod 4$.
Остается только условие $2^n+3, 2^n+5$ - простые. Первые решения $n=1,3$. Есть ли другие, не знаю.

[Ktina]

Руст в сообщении #701279 писал(а):

Есть ли другие, не знаю.

Очень нетрудно доказать, что их нет

[hippie]

Других нет.
При $n=12k+3$: $2^n+5$ кратно 13;
При $n=12k+7$: $2^n+5$ кратно 7;
При $n=12k+11$: $2^n+3$ кратно 7.

[Ktina]

hippie в сообщении #701281 писал(а):

Других нет.
При $n=12k+3$: $2^n+5$ кратно 13;
При $n=12k+7$: $2^n+5$ кратно 7;
При $n=12k+11$: $2^n+3$ кратно 7.

Ну я же говорила, нетрудно

-- 25.03.2013, 18:29 --

Эх, вот теперь усложнить бы задачу...