Интеграл от дроби

[randy]

Дан интеграл $\int {\frac {x^3+4x^2+4x+2}{(x^2+x+1)(x+1)^2}}$
Возможно ли в данном случае разложение на $\int {\frac {A}{x^2+x+1}}+\int {\frac {B}{x+1}}+\int {\frac {C}{(x+1)^2}}$?

[mihailm]

Кто ж его заранее знает - надо разложить, там видно будет

[randy]

mihailm в сообщении #700968 писал(а):

Кто ж его заранее знает - надо разложить, там видно будет

то есть кто же заранее знает? есть совершенно определенное правило когда можно, а когда нет, не? а правило такое - нужно разложить знаменатель на множители. так вопрос в том, правильно ли я выделил множители?

[Slow]

А почему это у вас в первой дроби константа в числителе?

[randy]

Slow в сообщении #700974 писал(а):

А почему это у вас в первой дроби константа в числителе?

дак в знаменателе квадратный трехчлен с дискрименантом меньше 0

[Slow]

Тогда в числителе чего то вам не хватает.

[randy]

Точно! Тогда получается один из коэффициентов равен нулю. Похоже на правду?

-- 25.03.2013, 00:07 --

Да, вроде не ошибся нигде. Подскажите что с таким интегралом делать $\int {\frac {x+1}{x^2+x+1}dx}$

[Whitaker]

randy в сообщении #700989 писал(а):

Подскажите что с таким интегралом делать $\int {\frac {x+1}{x^2+x+1}dx}$

Занесите $x+1$ под знак дифференциала и добавьте константу

[randy]

Whitaker в сообщении #700992 писал(а):

randy в сообщении #700989 писал(а):

Подскажите что с таким интегралом делать $\int {\frac {x+1}{x^2+x+1}dx}$

Занесите $x+1$ под знак дифференциала и добавьте константу

не понял...

-- 25.03.2013, 00:58 --

ориентируясь по вольфрам альфа, в этом интеграле скрыт логарифм и арктангенс. преобразовываем дробь в соответствии с этим: $\int {\frac {(2x+1)-x}{x^2+x+1} dx}=\int {\frac {2x+1}{x^2+x+1}dx}-\int {\frac {x}{x^2-x+1}dx}$
$\int {\frac {2x+1}{x^2+x+1}dx}=\int {\frac {d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}}=\ln |x^2+x+1|$
только вот чтобы $\int {\frac {x}{x^2-x+1}dx}$ стало арктангенсом нужно от икса избавиться в числителе. домножаем на 4 числитель и знаменатель, в знаменателе появляется выражение $3+(2x+1)^2$. получается $\frac {4}{2} \int { \frac {xd(2x+1)}{3+(2x+1)^2}}$. то есть нужно от икса избавиться в числителе

[ИСН]

Выражение $\int {\frac {x}{x^2-x+1}dx}$ ничем не капельки не лучше, чем $\int {\frac {x+1}{x^2-x+1}dx}$. Оно тоже содержит логарифм и арктангенс. Задумайтесь над этим.

[iifat]

Ну и? Осталось только подправить так, чтобы во втором интеграле не оставалось x.

[Slow]

Разбейте вашу дробь на две: $\frac{1}{2(x^2+x+1)}$ и ...

[randy]

Slow в сообщении #701035 писал(а):

Разбейте вашу дробь на две: $\frac{1}{2(x^2+x+1)}$ и ...

выделил такие части $\int{\frac {1}{2(x^2+x+1)}dx}+\frac {1}{2}\int {\frac {2x+1}{x^2+x+1}dx}$
Почему во второй дроби нельзя сделать так $\int {\frac {2x+1}{x^2+x+1}dx}=\int {\frac {d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}}=\ln {|x^2+x+1|}$?

[ИСН]

Действительно, почему? Почему Вы этого не сделали в своём предыдущем сообщении?

[StopCry]

randy в сообщении #700989 писал(а):

Подскажите что с таким интегралом делать $\int {\frac {x+1}{x^2+x+1}dx}$

из $x^2+x+1$ выделяем полный квадрат, он равен:$(x+1/2)^2+3/4$, далее $x+1/2$ заменяем, получаем
$dx = du; (x+1/2)^2+3/4 = u^2 + 3/4; x+1 = u+1/2$
в результате получаем интеграл:
$\int{\frac{u+1/2}{u^2+3/4}du}$
его разбиваем еще на сумму интегралов:
$\int{\frac{u}{u^2+3/4}du}$ + $1/2\int{\frac{du}{u^2+3/4}}$
из них правый - табличный , а левый легко к такому приводится, например так:
$\int{\frac{u}{u^2+3/4}du}=1/2\int{\frac{2u}{u^2+3/4}du}=1/2\int{\frac{d(u^2+3/4)}{u^2+3/4}}$, что равносильно:$\int{\frac{dx}{x}}$
ну я бы так это решил