Всеукраинская олимпиада для школьников, Евпатория 2007

[neo66]

Pyphagor писал(а):

Где ошибка?

Уравнение $f(-f(x)+x)=f(x)-x$, вообще говоря, не эквивалентно уравнению $f(x)=-x$. Другими словами, из того, что второе уравнение имеет единственное решение, вообше говоря не следует, что и первое имеет единственное решение. В, частности, для функции $f(x)= x$, второе уравнение имеет единственное решение $x=0$, а первое выполняется $\forall x \in \mathbb{R}$.

PS. Может, всетаки, удалите спам из Ваших сообщений?

[neo66]

dm писал(а):

11.4. Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие условиям:
1) для всех действительных значений $x$, $y$ выполнено равенство:
$f(f(x)y+x)=xf(y)+f(x)$; (1)
2) уравнение $f(t)=-t$ имеет единственное решение.

Подставляя в (1) $y=0,x=1$, получим $f(0)=0$.
Подставим в (1) $x=y=-1$, получим $f(-f(-1)-1)=0$.
Рассмотрим 2 случая:
1) $-f(-1)-1=0$ и
2) $-f(-1)-1=a\neq 0$.

1) Подставим в (1) $y=-1$, получим $f(-f(x)+x)=-x+f(x), \forall x$. Тогда из ворого условия следует, что $f(x)=x$.

2) В этом случае $f(a)=0$ для некоторого $a\neq 0$. Подставим в (1) $x=a$, получим $af(y)=0$, т.е. $f(y)=0, \forall y$.

То есть имеем 2 решения: 1)$f(x)=x$ и 2) $f(x)=0$.

[torbich]

Цитата:

11.4. Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие условиям:
1) для всех действительных значений $x$, $y$ выполнено равенство:
$f(f(x)y+x)=xf(y)+f(x)$;
2) уравнение $f(t)=-t$ имеет единственное решение.

Интересный момент - эта задача имеет решение, даже если убрать пункт 2) и оставить только 1-й пункт условия!

[Leader171]

По-моему, задача 11.2 это 10.3, а не 10.2

[Leader171]

Хотя нет, действительно 10.2. Извиняюсь...