Помогите разобраться с отражениями в линале :(

[lyambda]

Намекните, пожалуйста, как решать следующие вещи:(
Имеется линейное отображение $R: V\to V$. ($V$ - векторное пространство)
Назовем $R$ - отражением, если $R^2=I$ ($I$ - идентичное отображение)
1) Докажите, что существуют векторные подпространства $V_{1}$ и $V_{-1}$ такие, что $V_{1} \oplus V_{-1}=V$, $Rx=x$ для всех $x \in V_{1}$ и $Rx=-x$ для всех $x \in V_{-1}$. Отображение $R$ тогда является отражением вдоль подпространства $V$. ////Честно говоря, не знаю, из чего исходить - из определения ли прямой суммы? И в каком направлении двигаться?)
2) Если $V$ дополнительно является скалярным произведением, то отражение $R$ называется ортогональным, если $\ker(R-I) \bot \ker(R+I)$. Докажите, что $R$ - ортогональное отражение тогда и только тогда, когда $R$ - отражение и $R^*=R$.////// Тут, я полагаю, надо использовать скалярное произведение, равное нулю. Но как?)) И совсем не знаю, как использовать здесь сопряженность оператора :(
3. На $R^3$ со стандартным скалярным произведением найдите отражение вдоль плоскости $<(x_{1}, y_{1}, z_{1}),(x_{2}, y_{2}, z_{2})>$. /////Тут, я надеюсь, догадаюсь как-нибудь, но на всякий намекните немного)))
Заранее спасибо за помощь!)

[iifat]

1. Ну, согласитесь, идеальным доказательством было бы конструктивное - явно выразить два вектора для любого x. Может, стоит попробовать?

[TOTAL]

lyambda в сообщении #700455 писал(а):

1) Докажите, что существуют векторные подпространства $V_{1}$ и $V_{-1}$ такие, что $V_{1} \oplus V_{-1}=V$, $Rx=x$ для всех $x \in V_{1}$ и $Rx=-x$ для всех $x \in V_{-1}$. Отображение $R$ тогда является отражением вдоль подпространства $V$. ////Честно говоря, не знаю, из чего исходить - из определения ли прямой суммы? И в каком направлении двигаться?)

Все векторы разбейте на векторы вида $x-Rx$ и $x+Rx$

[lyambda]

Цитата:

Все векторы разбейте на векторы вида $x-Rx$ и $x+Rx$

Жутко туплю, наверное, прошу прощения... То есть при существовании заданных отражений эти оба вектора перейдут в нулевые, разве нет? Нулевые вектора в пространстве есть, но...? Это и будет доказательством? Или я что-то не понимаю?:( Сорри, что туплю

[TOTAL]

lyambda в сообщении #700774 писал(а):

Цитата:

Все векторы разбейте на векторы вида $x-Rx$ и $x+Rx$

Жутко туплю, наверное, прошу прощения... То есть при существовании заданных отражений эти оба вектора перейдут в нулевые, разве нет? Нулевые вектора в пространстве есть, но...? Это и будет доказательством? Или я что-то не понимаю?:( Сорри, что туплю

Кто куда перейдет? Что такое перейдет?

[lyambda]

Цитата:

Все векторы разбейте на векторы вида $x-Rx$ и $x+Rx$

Вы ведь имеете ввиду разбить все векторы внутри векторного пространства $V$, так?

И когда мы возьмем эти две группы векторов, и подставим заданные отображения, то в первом случае получится $x-(x)$, а во втором $x+(-x)$, нет?

Хотя я чето похоже совсем неправильно вас понял

[TOTAL]

lyambda в сообщении #700791 писал(а):

И когда мы возьмем эти две группы векторов, и подставим заданные отображения

Что такое подставим заданные отображения?

[lyambda]

Тогда так: как именно мы разобьем эти векторы на $x-Rx$ и $x+Rx$? Как доказать, что это можно сделать?

[TOTAL]

lyambda в сообщении #700805 писал(а):

:oops: Тогда так: как именно мы разобьем эти векторы на x-Rx и x+Rx? Как доказать, что это можно сделать?

Какие эти векторы разобьем?

[lyambda]

Векторы пространства V)

-- 24.03.2013, 17:22 --

Со вторым и третьим уже разобрался) Только с первым как-то всё-таки туплю..