Многочлен и его простые значения

[Ktina]

Дан непостоянный многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами.
Выписывается бесконечная (в обе стороны) последовательность его значений в целых точках:

$$\dots, P(-n), \dots, P(-2), P(-1), P(0), P(1), P(2), \dots, P(n), \dots$$

Назовём ситуацию всех даров достойной, если окажется так, что среди любых 2013 идущих подряд членов этой последовательности найдётся хотя бы одно число вида $\pm p$, где $p$ -- простое.

Доказать, что всех даров достойная ситуация является невозможной.

[ИСН]

Короче так. Вот арифметическая прогрессия $n,\,n+P(n),\,n+2P(n)...$ Значения многочлена в этих точках тупо делятся на $P(n)$, потому что там разность и это самое. Если отойти подальше от начала (где несколько из них могут быть равны самому $P(n)$, а оно, собака, может случиться простым), то вот она - прогрессия составных значений. Теперь набрать 2013 таких прогрессий со взаимно простыми разностями, и дело в шляпе. Можем мы это? А вдруг нет? А если нет (хотя, по-моему, так не бывает), тогда ещё лучше: тогда простых значений вообще конечный набор.

[Ktina]

ИСН,
У меня чуть-чуть иначе.
Любой многочлен с некоторого момента становится монотонным (пусть WLOG он возрастает для всех $n>k$).
Возьмём первые 2013 его значений (в точках $>k$), превышающих 1, пусть они будут в точках $m, m+1, \dots, m+2012$.
А теперь перемножим все эти значения и получим число $N$.
Затем рассмотрим 2013 его значений, в точках $m+N, m+1+N, \dots, m+2012+N$
По теореме Безухова Безу, все эти значения будут составными -- $P(m+N)$ будет делиться на $P(m)$ и будет больше $P(m)$, $P(m+1+N)$ будет делиться на $P(m+1)$ и будет больше $P(m+1)$ и так далее.

Разве не так?

[ИСН]

И так тоже. Собственно, вот Вы и подобрали те мои прогрессии в явном виде.