Нормальная подгруппа максимального порядка.

[Хет Зиф]

Существует группа порядка $p^n$, где $p$- простое. В этой группе есть элемент порядка $p^{n-1}$. Показать что есть нормальная циклическая подгруппа порядка $p^{n-1}$. Говорят что это очевидно, но я как то не прихожу к решению ??

[Dandan]

Это действительно очевидно Даже не знаю какую подсказку дать . Из каких элементов будет состоять эта подгруппа понятно ?

[Хет Зиф]

Dandan
Не совсем понятно.

[Dandan]

ну по условию у нас есть некий элемент $a$ порядка $p^{n-1}$, т.е. такой что $a^{p^{n-1}}=1; a^k\neq1, 0<k<p^{n-1}$. Ну так какие можно $p^{n-1}$ элементов взять?

[RIP]

Хет Зиф
Дело в том, что в группе из $p^n$ элементов любая подгруппа порядка $p^{n-1}$ нормальна. Док-во можно найти в книге Холл М. — Теория групп, п. 4.2

[Хет Зиф]

RIP
Спасибо за книгу. Теперь я смог убедиться в очевидности этого утверждения