Биективность отображения X \ Y -> X

[Alexander__]

Нужно доказать, что если множество X бесконечно, а его подмножество Y конечно, то существует биективное отображение $X \setminus Y \to X$.

Отображение зададим следующим образом. На место каждого элемента подмножества $Y$ подставим любые различные элементы из множества $X \setminus Y \to X$. Образуется новая "дыра" в множестве X. В нее также подставим элементы из оставшихся элементов. Всегда можно будет найти элементы на замещение очередной "дыры", т.к. множество X -- бесконечно.

Разные элементы $X \setminus Y \to X$ будут переводится в разные элементы образа. Поэтому отображение инъективно.

У каждого элемента образа будет прообраз. Поэтому отображение сюръективно.

Из сказанного следует, что отображение биективно.

[Joker_vD]

"Множество $X\mathbin{\diagdown}Y\to X$"?

[devgen]

Мне кажется, строить буквальную биекцию в таких случаях лишнее(?). Можно ведь просто поговорить о мощностях $X$ и $X \setminus Y$, где $Y$ конечное подмножество $X$.

[Joker_vD]

devgen
А откуда вы предлагаете взять этот факт о мощностях? Он из этой задачки и следует. И биекция здесь легкая и довольно поучительная.

[Alexander__]

Joker_vD в сообщении #699435 писал(а):

"Множество $X\mathbin{\diagdown}Y\to X$"?

Моя опечатка. Должно быть множество $X\mathbin{\diagdown}Y.

В итоге биективное отображение верное?

[Alexander__]

Joker_vD в сообщении #699609 писал(а):

devgen
А откуда вы предлагаете взять этот факт о мощностях? Он из этой задачки и следует. И биекция здесь легкая и довольно поучительная.

Описанная биекция верная?

[Joker_vD]

Насколько я понял — да. Можете тут явно выписать какую-нибудь биекцию между $\mathbb N$ и $\mathbb N\mathbin{\diagdown}\{1,2,10\}$ для полной уверенности.

[devgen]

Joker_vD

$$ y=\begin{cases} x+3,& x\notin \{1,2,10\} \\ 1, & x=1 \\ 2, & x=2 \\ 3, & x=10 \end{cases} $$

[arseniiv]

$x = 7$. Упс.

-- Вс мар 24, 2013 20:14:35 --

Да тут даже $x = 1$ сразу показывает то, что это не то.

[devgen]

arseniiv

$$ y =\begin{cases} x+3, & x\notin \{1,2,10\}\\ 3, & x=7 \end{cases} $$

[lyuk]

to Alexander
Мне кажется, что вы и отбражение полностью не построили. Есть только правильная идея. Возьмите $X=[0,1]$ и ви увидите, что схема ваша работает не всюду.

[arseniiv]

devgen в сообщении #700914 писал(а):

$$ y =\begin{cases} x+3, & x\notin \{1,2,10\}\\ 3, & x=7 \end{cases} $$

Единицы нет ни в области определения, ни в её образе, а должна быть ровно в одном из них.

Зачем гадать? Рисуем эдакие две ленты, бесконечные в одну сторону, состоящие из клеток с числами. В одной ленте зачеркнём хорошенько клетки с 1, 2 и 10, чтобы не мешали. Примерно так:

$$\begin{array}{c} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&\cdots \\ \hline \end{array} \\ \\ \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline \phantom{1}&\phantom{2}&3&4&5&6&7&8&9&\phantom{10}&11&12&13&14&15&16&17&\cdots \\ \hline \end{array} \end{array}$$

Теперь нарисуйте стрелочки от клеток одной ленты к клеткам другой. А потом высматривайте формулу.

-- Пн мар 25, 2013 21:30:42 --

Или не стрелочки, а ненаправленные такие палки.

Можно выписать отображение и в «прямую» сторону, и в «обратную». Наверно, смысл в выписывании обоих какой-то есть.

[Alexander__]

lyuk, вы могли указать на то, где эта схема работает не всюду для $X = [0, 1]$?

Вообще, описанную биекцию сложно построить в символах для конкретного случая.

Предлагаю такую биекцию. Пусть $Y \subset Z \subset X$. Z устроено так: $Z: \{z_1 = y_1, z_2 = y_2, ..., z_n = y_n, z_{n+1}, ... \} $.

Отображение $g(z_i) = i, i \in [1, n]$.

Искомая биекция: $f(z) = \begin{cases} x & x \notin Z \\ g^{-1}(g(x) - n) & x \in Z \end{cases}$, т.е. оно отображает $X \setminus Z \to X \setminus Z$ и $Z \setminus Y \to Z$.

[lyuk]

Теперь уже лучше.

У вас появилось множество $Z$, на котором вы фактически строите биекцию. Желательно четко выписать свойства этого множества. И доказать его существование.