3-мерное пространство

[akon]

Добрый вечер! Помогите разобраться!
Рассмотрим следующую алгебру 3-мерное пространство векторных полей на комплексной прямой вида $(az^2+bz+c) \frac{\partial}{\partial z}$. Нужно вычислить коммутатор двух элементов такого вида. Подскажите, как перемножаются эти элементы? И чему равно, например, $[\frac{\partial}{\partial z}, z\frac{\partial}{\partial z}]$?

[ИСН]

Перемножаются по-простому: левый съел правый и уселся сверху. Чему равно $\frac{\partial}{\partial z}z^2$, например, знаете же?
(Почему оно 3-мерное и что такое комплексная прямая - это пока отложим.)

[akon]

$2z\frac{\partial}{\partial z}$?
а про левый съел правый и уселся сверху не очень понял:)

[ИСН]

Чтобы понятнее было, надо к этим штукам справа мысленно приставить функцию (неизвестную, тупо f). Первая штука её дифференцирует и на что-то умножает. Потом вторая наваливается на эту кучу, всё вместе дифференцирует и ещё на что-то другое умножает.
Теперь убираем функцию.

[akon]

$[\frac{\partial}{\partial z},z\frac{\partial}{\partial z}]=\frac{\partial f}{\partial z}(z\frac{\partial f}{\partial z})-(z\frac{\partial f}{\partial z})\frac{\partial f}{\partial z}$
Скажите, пожалуйста, что с этим дальше нужно делать?

[ИСН]

Я недостаточно ясно выразился. Надо ко всей конструкции справа мысленно приставить одну функцию. Приставлять свою функцию к каждой штуке - не надо!