Помогите с переводом(линейная алгебра)

[someone307]

Добрый день!

В одном иностранном математическом сообществе нашёл такой вопрос и такой ответ:

Вопрос:

Цитата:

Find positive and negative indecies of inertia of a quadratic form $ q(x)= trX^2 $ on the $M_n(\mathbb{R})$ (vector space of square matrices).

Перевод:

Цитата:

Найдите положительные и отрицательные индексы инерции квадратичной формы $ q(x)= trX^2 $ на $M_n(\mathbb{R})$ (векторное пространство квадратных матриц).

Ответ:

Let $E_{ij}$ be the matrix whose $(i,j)$-th entry is $1$ and all other entries zero. . Since $\operatorname{tr}(X^2)=\operatorname{tr}\left(X(X^T)^T\right)$, the matrix of the quadratic form $q$ with respect to the standard basis $\{E_{ij}\}_{i,j=1,\ldots,n}$ of $M_n(\mathbb{R})$ is the [commutation matrix][1] $K=K^{(n,n)}$. (That is, $K$ is the $n^2\times n^2$ real symmetric permutation matrix such that $K\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(X^T)$.) Clearly, for each $i$, $\operatorname{vec}(E_{ii})$ is an eigenvector of $K$ corresponding to the eigenvalue $1$ (because $E_{ii}^T=E_{ii}$). Also, for all $i\neq j$, $\operatorname{vec}(E_{ij}+E_{ji})$ is an eigenvector of $K$ corresponding to the eigenvalue $1$ and $\operatorname{vec}(E_{ij}-E_{ji})$ is an eigenvector of $K$ corresponding to the eigenvalue $-1$. Since these vectors form a basis of $\mathbb{R}^{n^2}$, we conclude that $K$ has $\frac{n^2+n}2$ positive eigenvalues and $\frac{n^2-n}2$ negative eigenvalues.

[1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Commutation_matrix

С вопросом всё вполне ясно. Но вот не уверен, что правильно понимаю ответ.
Привожу мой перевод и прошу исправить меня, или перефразировать те моменты, которые переведены "не очень хорошо".

===================
Пусть $E_{ij}$ - матрица, элемент $(i,j)$ которой равен единице, а всё остальные - нулю. Так как $\operatorname{tr}(X^2)=\operatorname{tr}\left(X(X^T)^T\right)$, матрица квадратичной формы $q$ в стандартном базисе $\{E_{ij}\}_{i,j=1,\ldots,n}$ пространства$M_n(\mathbb{R})$ является [commutation matrix][1] $K=K^{(n,n)}$. (это такая симметричная действительная матрица перестановок $K$ размером $n^2\times n^2$, что $K\operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(X^T)$.) Очевидно, для каждого $i$, $\operatorname{vec}(E_{ii})$ является собственным вектором $K$ соответствующим собственному значению $1$ (так как $E_{ii}^T=E_{ii}$). Так же, для всех $i\neq j$, $\operatorname{vec}(E_{ij}+E_{ji})$ является собственным вектором $K$ соответствующим собственному значению $1$ и$\operatorname{vec}(E_{ij}-E_{ji})$ является собственным вектором $K$ соответствующим собственному значению $-1$. Так как эти векторы являются базисом в $\mathbb{R}^{n^2}$, можно сделать вывод, что у $K$ $\frac{n^2+n}2$ положительных собственных значения $\frac{n^2-n}2$ отрицательных.

[1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Commutation_matrix