непрерывная биекция

[Oleg Zubelevich]

существует ли непрерывная биекция $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,\quad n<m$?

[hippie]

Не существует, т.к. замкнутый $m-$мерный шар не вкладывается гомеоморфно в $n-$мерное пространство.

По той же причине (плюс теорема Бэра о категориях) не существует непрерывной биекции $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,\quad n>m.$

[Oleg Zubelevich]

а как возникло слово "гомеоморфно"?

[hippie]

Oleg Zubelevich в сообщении #699013 писал(а):

а как возникло слово "гомеоморфно"?

Замкнутый шар в $m-$мерном пространстве компактен. Следовательно, его непрерывная инъекция в хаусдорфово пространство — гомеоморфизм на образ.

[Oleg Zubelevich]

да, о простом я и не подумал. Есть красивый факт (тоже задача если угодно). Пусть $f:D\to\mathbb{R}^m$ -- непрерывное, взаимнооднозначное с образом отображение открытой области $D\subset\mathbb{R}^m$. Тогда $f(D)$ открыто в $\mathbb{R}^m$.
Это факт не банальный, а следствие оказалось банальным

[xmaister]

Доказательство будет?

[Oleg Zubelevich]

ну это вообще-то олимпиадный раздел