2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 непрерывная биекция
Сообщение20.03.2013, 20:49 
существует ли непрерывная биекция $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,\quad n<m$? :wink:

 
 
 
 Re: непрерывная биекция
Сообщение20.03.2013, 21:05 
Не существует, т.к. замкнутый $m-$мерный шар не вкладывается гомеоморфно в $n-$мерное пространство.

По той же причине (плюс теорема Бэра о категориях) не существует непрерывной биекции $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,\quad n>m.$ :-)

 
 
 
 Re: непрерывная биекция
Сообщение20.03.2013, 21:07 
а как возникло слово "гомеоморфно"?

 
 
 
 Re: непрерывная биекция
Сообщение20.03.2013, 21:13 
Oleg Zubelevich в сообщении #699013 писал(а):
а как возникло слово "гомеоморфно"?


Замкнутый шар в $m-$мерном пространстве компактен. Следовательно, его непрерывная инъекция в хаусдорфово пространство — гомеоморфизм на образ.

 
 
 
 Re: непрерывная биекция
Сообщение20.03.2013, 21:19 
да, о простом я и не подумал. Есть красивый факт (тоже задача если угодно). Пусть $f:D\to\mathbb{R}^m$ -- непрерывное, взаимнооднозначное с образом отображение открытой области $D\subset\mathbb{R}^m$. Тогда $f(D)$ открыто в $\mathbb{R}^m$.
Это факт не банальный, а следствие оказалось банальным :-(

 
 
 
 Re: непрерывная биекция
Сообщение21.03.2013, 08:05 
Аватара пользователя
Доказательство будет?

 
 
 
 Re: непрерывная биекция
Сообщение21.03.2013, 11:17 
ну это вообще-то олимпиадный раздел

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group