Порядок аппрксимации

[Anzor7]

Как доказать?
$u(x_{i_0})\displaystyle\frac{x_{i_0+1}-\xi}{h} + u(x_{i_0+1})\displaystyle\frac{\xi-x_{i_0}}{h} - u(\xi)=O(h^2)$

где
$x_{i_0} \leq \xi \leq x_{i_0+1}$

[незваный гость]

Немного меняя обозначения $x_0 \equiv x_{i0}$, $x_1 \equiv x_{i1}$, предполагая $h = x_1 - x_0$, и дважды непрерывную дифференцируемость $u(x)$ (а в противном случае Ваше утверждение, вероятно, неверно - но уж больно лень думать), имеем: $u(x_1) = u(x_0) + u'(x_0) h + u''(\zeta_1)\frac{h^2}{2}$, где $\zeta_1 \in [x_0, x_1]$, и $u(\xi) = u(x_0) + u'(x_0) (\xi - x_0) + u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}$, где $\zeta_0 \in [x_0, x_1]$. Выражаем $u'(x_0)$ из первого уравнения: $u'(x_0) = \frac{u(x_1) - u(x_0)}{h}-u''(\zeta_1)\frac{h}{2}$, и подставляем во второе: $u(\xi) = u(x_0) + (\frac{u(x_1) - u(x_0)}{h}-u''(\zeta_1)\frac{h}{2}) (\xi - x_0) + u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}$. Теперича перегруппировываем: $ u''(\zeta_1)\frac{h (\xi - x_0)}{2} - u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2} = - u(\xi) + u(x_0) + \frac{u(x_1) - u(x_0)}{h} (\xi - x_0) $. Осталось совсем немного: сгруппировать правую часть $ u(x_0) \frac{ x_0 + h - \xi}{h} + u(x_1)\frac{\xi - x_0}{h} - u(\xi) $, опознать $ x_0 + h - \xi $ как $ x_1 - \xi $, и оценить левую часть $ u''(\zeta_1)\frac{h (\xi - x_0)}{2} - u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}$. Внимательно посмотрев, и заметив необходимую ограниченность непрерывной функции $ u''(x) $ на отрезке (компакте, если мне будет позволено сие высокоученое выражение), имеем $ |u''(\zeta_1)\frac{h (\xi - x_0)}{2} - u''(\zeta_0)\frac{(\xi - x_0)^2}{2}| \le $ $ C |\frac{h (\xi - x_0)}{2}| + C |\frac{(\xi - x_0)^2}{2}| \le $ $ C h^2 $ id est $ {\rm O}(h^2) $ q.e.d.

[Anzor7]

Еще один вариант доказательства узнал:
Воспользуюсь вашими обозначениями )
Разлагаем функцию u по Тейлору в окрестности x_0, x_1

u(\xi)=u(x_0)+u'(x_0) (\xi-x_0) + u''(\zeta_0)\displaystyle\frac{ (\xi-x_0)^2}{2}
u(\xi)=u(x_1)+u'(x_1) (\xi-x_1) + u''(\zeta_1)\displaystyle\frac{ (\xi-x_1)^2}{2}

Заметим, что u'(x_0) =\frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}+O(h) и
u'(x_1) =\frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}+O(h)

Умножим первое на \sigma второе на (1-\sigma) и сложимu(\xi)=u(x_0)\sigma+u(x_1)(1-\sigma)+\frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}(\xi-x_0)\sigma + \frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}(\xi-x_1) (1-\sigma)+O(h^2)
Подберем \sigma так, чтобы выражение
\displaystyle \frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}\cdot (\xi-x_0)\sigma + \frac{u(x_1)-u(x_0)}{h}(\xi-x_1) (1-\sigma)
Обращалось в нуль.
Получим 1-\sigma=\frac{\xi-x_0}{h}
\sigma=\frac{x_1-\xi}{h}