Несколько задачек по топологии.

[Aizh]

Помогите пожалуйста разобраться с несколькими задачками.

1. Доказать, что все не сюръективные отображения отрезка в сферу $S^2$ гомотопны.

2. Доказать связность отрезков, пространств $\mathbb R^n$ и сфер $S^n, n \in \mathbb N$.

3. Какие из подмножеств пространства матриц $Mat(n \cdot n, \mathbb R)$ компактны:
а) $GL(n)={A\in\Mat(n \cdot n, \mathbb R): \det A\not=0};$
б) $SL(n)={A\in\Mat(n \cdot n, \mathbb R): \det A=1};$
в) $O(n)={A\in\Mat(n \cdot n, \mathbb R): A ортогональная матрица};$?

4. Получить проективную плоскость $\mathbb RP^2$
а) как результат склейки по границе диска D^2 и ленты Мебиуса
б) из конуса окружности, факторизацией основания
в) как результат факторизации ленты Мебиуса

5. Докажите, что факторпространство отрезка $I=[0,1]$ по его разбиению на одноточечные подмножества интервала $J=(0,1)$ и двухточечное множество $\{0, 1\}$ гомеоморфно окружности $S^1$.

Буду премного благодарна за помощь.