Сравнение чисел

[Terraniux]

Сравните числа
1) $2011^{{2012}^{2013}}$ и ${2012}^{{2013}^{2011}}$
2) $2^\pi$ и $\pi^2$
3) $2^{{3^\ldots}^{2013}}$ и $3^{4^\ldots^{{2013}^2}}$
4) $\left(1+\frac{2}{3^3}\right)\left(1+\frac{2}{5^3}\right)\ldots \left(1+\frac{2}{2013^3}\right)$ и $\sqrt{\frac{3}{2}}$
5) $\left(1+\left\{2-\sqrt[3]{2}\right\}\right)\left(1+\left\{3-\sqrt[3]{3}\right\}\right)\ldots\left(1+\left\{2013-\sqrt[3]{2013}\right\}\right)$ и $\sqrt[2013]{\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{2}{5}\right)\ldots\left(1+\frac{2013}{4027}\right)}$
6) все вида ${a_1}^{{a_2}^\ldots^{a_n}}$, где $\{a_i\}$ - всевозможные перестановки чисел $1,2,\ldots,n$

[Whitaker]

Для пункта 2) рассмотрите функцию $f(x)=2^x-x^2$
Очевидно, что $f(2)=f(4)=0$ и нетрудно показать, что при $x>4$ получаем, что $f(x)>0$ , а при $x\in(2,4)$ получаем, что $f(x)<0,$ но так $\pi \in(2,4)$, то $f(\pi)<0$, т.е. $2^{\pi}-{\pi}^2<0$, т.е. $2^{\pi}<{\pi}^2$

[Terraniux]

Whitaker в сообщении #697860 писал(а):

Для пункта 2) рассмотрите функцию $f(x)=2^x-x^2$
Очевидно, что $f(2)=f(4)=0$ и нетрудно показать, что при $x>4$ получаем, что $f(x)>0$ , а при $x\in(2,4)$ получаем, что $f(x)<0,$ но так $\pi \in(2,4)$, то $f(\pi)<0$, т.е. $2^{\pi}-{\pi}^2<0$, т.е. $2^{\pi}<{\pi}^2$

Да, второй пункт самый легкий. А как Вам остальные?

[Praded]

№ 4 обсуждался здесь http://dxdy.ru/post698004.html?hilit=#p698004